Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 13.20. Некая гипотетическая частица с отрицательной гравитационной массой — M высвобождается из состояния покоя на расстоянии l'p'M от другой фиксированной частицы с положительной массой + М. Чему равны величина и направление ускорения каждой частицы с точки зрения покоящегося наблюдателя? Рассчитайте траектории движения частиц после того, как они были освобождены, делая при этом любые необходимые разумные допущения. ГЛАВА 14
ФИЗИКА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Эта глава посвящена обобщению законов релятивистской (т. е. согласующейся со специальной теорией относительности) физики, включая сюда гидродинамику, электродинамику и т. д., на искривленное пространство-время. Довольно часто это обобщение заключается попросту в замене обычного частного дифференцирования ковариантным дифференцированием по правилу: «запятая переходит в точку с запятой». Например, обобщение уравнений движения состоит в замене уравнения Tltviv = 0 на Tliviv = 0; последнее уравнение, включающее точку в запятой, уже учитывает эффекты тяготения.
Задача 14.1« Выпишите тензор энергии-импульса для отдельной свободной частицы и покажите, что уравнение движения частицы по геодезической вытекает из уравнения Tliviv = 0.
Задача 14.2. Покажите, что условие теплового равновесия статической системы в ньютоновском пределе T = const заменяется в общей теории относительности условием
т (—goo)Vi=const,
где Т — температура, измеряемая локально покоящимся наблюдателем.
Задача 14.3. Выведите из уравнения Tlivjv = 0 общерелятивистское уравнение Эйлера
(р+р) V11U = -[Vp + (Vup) и]
и покажите, что это уравнение обладает правильным ньютоновским пределом.
Задача 14.4. Выведите общерелятивистское уравнение гидростатического равновесия
rT^ = (Р + Р) T^v In (— goo)7' 84
ГЛАВА Ij
и сравните его с соответствующим уравнением ньютоновской теории.
Задача 14.5. Покажите, что ультрарелятивисткая жидкость
^уравнение состояния р = ~ pj, находящаяся в гидростатическом
равновесии в гравитационном поле, не может обладать свободной поверхностью (т. е. поверхностью, на которой р->0).
Задача 14.6. Два идентичных сосуда, содержащие различные вещества, находятся в однородном статическом гравитационном поле. Плотности массы-энергии для обоих сосудов и их содержимого одинаковы и не зависят от времени, тогда как распределение напряжений (в общем случае анизотропных) различно. Если взвесить эти сосуды на одних и тех же весах, будут ли одинаковы показания весов?
Задача 14.7. Пусть и — 4-скорость идеального газа, участвующего в адиабатическом стационарном течении в стационарном гравитационном поле. Используя релятивистское уравнение Бер-нулли, докажите, что вдоль линий потока
„ =const -п/(р + р), где п — плотность числа барионов.
Задача 14.8. Покажите, что релятивистское уравнение Бер-нулли, использованное в предыдущей задаче, дает правильный ньютоновский предел для медленных движений и слабых гравитационных полей.
Задача 14.9. Рассмотрим движущуюся среду с 4-скоростью и(х) Выберем две произвольные соседние частицы А и В. Для каждого события вдоль мировой линии А определим с помощью следующих условий 4-вектор I, который мы назовем «4-векторным расстоянием от В до А»: 1) ! — некоторый инфинитезимальный вектор, проведенный от данного события на мировой линии А до мировой линии В; 2) временная компонента ? в ортонормирован-ном базисе, «привязанном» к частице А, равна нулю, т. е. ?® = 0.
а) Будем называть движение среды «жестким» в том и только в том случае, когда расстояние (I-Ijv" между двумя соседними частицами среды —к примеру, частицами А и В в нашем случае — постоянно для всех моментов времени. Покажите, что необходимым и достаточным условием участия среды в жестком движении является выполнение равенств Oap = O и O = O, где оар и О— величины, введенные в условии задачи 5.18. ЗАДАЧИ
77
б) Сколько независимых уравнений соответствует этим условиям? Сколько степеней свободы существует при релятивистском жестком движении?
Задача 14.10. Выведите уравнение Рейчаудхури = аа-а + 2(о2 - 2а2 - ± ft2 - R^u-Ф,
где ft — вторая ВЯЗКОСТЬ ДЛЯ ЖИДКОСТИ, (О2 = Va^apW^, a2 = V^apO^,
а обозначения те же, что и в задаче 5.18.
Задача 14.11. В некотором пространстве-времени сплошная среда движется вдоль геодезических с нулевыми значениями первой и второй вязкости (определения первой ВЯЗКОСТИ aa? и второй вязкости ft см. в задаче 5.18). Покажите, что данное пространство-время обладает времениподобным вектором Киллинга.
Задача 14.12. Наблюдатель, помещенный в замкнутый ящик (не обязательно находящийся в свободном падении), измеряет пространственные координаты и промежутки времени внутри своего ящика с помощью масштабных линеек и часов. Покажите, что уравнение движения пробной частицы, справедливое с точностью до первого порядка по ее измеренной скорости V 1 и координате Xі, имеет вид
дії jdt = 2 (о X ю)' — [С* X со) X а]1 + (х X da/dt)' —
— a' (l +a • х) — R1OkoXl1,
где со —угловая скорость ящика, а —его ускорение и R1 ом — тензор Римана в начале координат.
