Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 8.18. Вектор v требуется перенести вдоль кривой с касательным вектором и. Что требуется знать для параллельного переноса Ферми —Уокера и переноса Ли: метрику, коэффициенты аффинной связности или векторное поле и (х) вне кривой?
Задача 8.19. В 3-пространстве с метрикой ds2 = dx2 + dy2 + + dz2 задано векторное поле v' = (—у, х, га), a = const. Некоторый вектор и перенесен в смысле Ли вдоль v из точки А в точку В, а затем параллельно перенесен по тому же маршруту в обратном направлении в точку А. При каком значении а существует вектор и, не изменяющийся при таком переносе?
Задача 8.20. Найти наиболее общее векторное поле, которое всюду допускает параллельный перенос, перенос Ферми — Уокера и перенос Ли вдоль самого поля.
Задача 8.21. Пусть Q- р-форма. Доказать, что Xx (dQ) = - d (#sO). 62
ГЛАВА 1
Задача 8.22. Векторный анализ в 3-мерных ортогональных криволинейных координатах представляет собой частный случай тензорного анализа с gy = 1г*Ьу (по повторяющимся индексам суммирование не проводится!), где /г* —функции координат, называемые «масштабными множителями». Компоненты векторов часто относят к («физическому») ортонормированному реперу ^hidxi (по повторяющимся индексам суммирование не производится!). Вывести выражения для: Л) VS,
2) V X V,
3) V-V,
4) V2S, где S-скалярное, а V —векторное поле.
Задача 8.23. Вывести выражения для V- А и VxA в сферических координатах.
Задача 8.24. Доказать, что если Fiiv = Avni- Alli v, то Ffovi л] = 0.
Задача 8.25. В произвольном пространственно-временном многообразии (не обязательно однородном или изотропном) выберем начальную пространственноподобную гиперповерхность S1, зададим на ней произвольную координатную сетку (х1, х2, хя), выпустим из точек гиперповерхности ортогональные ей геодезические мировые линии и параметризуем их так, что (х1, х2, xz) = = const, = ^ + где т — собственное время вдоль каждой
мировой линии (гиперповерхность Sj соответствует т = 0). Доказать, что в эт<$ системе координат («гауссовы нормальные координаты») метрика принимает синхронную форму:
ds2 = — dt2+gij dx1 dx).
Задача 8.26.
а) Доказать, что если g?V и ^ — компоненты двух симметричных тензоров, то _
OA _ FA _FA
° |xv — 1 HV 1 HV
— компоненты тензора (Г и Г —символы Кристоффеля, построенные из компонент тензоров g и g, как обычно).
б) Предположим, что тензоры и fp,v обладают одними и теми же геодезическими. Доказать, что в этом случае
SVv=SVK
где ^li-компоненты некоторого вектора. ЗАДАЧИ 77
16
Задача 8.27. Вычислить коэффициенты связности метрики ds2 = — е2а dt2 + е2* dr2 + e2v (dW + Sin2 ft dy2), (a, ?, у — функции, зависящие от г и t) в ортонормированном репере.
Задача 8.28. Красное смещение между двумя наблюдателями (с 4-скоростями ид и Ub) можно измерить двумя способами: 1) по энергиям фотонов (4-импульсам р), распространяющихся вдоль изотропных геодезических между двумя наблюдателями (1+z== иА • p/U/r р); 2) по собственному времени между двумя изотропными геодезическими, определив отдельно Дтл между отправлением двух сигналов одним наблюдателем и отдельно Axb между их приходом к другому наблюдателю, т. е. 1+z == Дтл/Дтд. Доказать, что оба способа эквивалентны. ГЛАВА 9 КРИВИЗНА
Изучение кривизны основано на рассмотрении в координатном репере тензора кривизны Римана
= - &Г + - ^ЛЛ-
Ковариантные компоненты тензора Римана связаны несколькими соотношениями симметрии:
= RySaQt Z?a?vo — — Rfiayo,
Rafryo — — ^a?ov > ^a [?yo] = 0 •
Из тензора Римана строится (симметричный) тензор Риччи и скаляр Риччи
Rafr == R = Raа.
Тензор Вейля
Q.HV/. = RlHVK--2" — SKHRHV ~ SnvR>.я 4" g\x,nR\v) +
~Ь "g' (gXvgixx — ginghv) R
называют также конформным тензором, желая подчеркнуть его инвариантность относительно конформных преобразований. Он обращается в нуль в том и только в том случае, если метрическое пространство конформно-плоское (т. е. переводится конформным преобразованием в пространство Минковского).
Тензор внешней кривизны гиперповерхности, натянутой на базисные векторы е(, tj, ..., с единичным вектором нормали п обозначается К, а его компоненты как
Ku = — e/v/n-
Задача 9.1. На сфере радиуса а локальную декартову систему координат можно попытаться построить двумя способами: а) из геодезических, б) из (ортогональных) линий постоянной ЗАДАЧИ
77
долготы и широты. Оба способа приводят к отклонениям от хорошей декартовой системы координат (например, сумма углов «прямоугольника», образованного линиями координат, отлична от 2я, а разности длин «параллельных» сторон не равны нулю). Доказать, что эти отклонения по порядку величины сравнимы с отношением (площадь прямоугольника)/*?2.
Задача 9.2. Сколько независимых компонент имеет тензор Римана в «-мерном пространстве?
Задача 9.3. Математические манипуляции с тензором Римана нередко проводят при помощи ЭВМ. Вместо того чтобы производить вычисления с компонентами R (І, /, k, I), где каждый из индексов і, /, k, I принимает значения 0, 1, 2, 3, и вводить в память машины 44 = 256 компонент тензора, можно воспользоваться симметриями тензора Римана и существенно уменьшить размеры вводимого в машинную память массива. Написать подпрограмму, в которой все компоненты тензора Римана вводятся в машинную память в виде массива, содержащего не более 21 элемента.
