Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтман А. -> "Сборник задач по теории относительности " -> 15

Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.

Лайтман А., Пресс В. Прайс Р., Тюкольски Сборник задач по теории относительности — М.: Мир, 1979. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoteoriiotnositelnosti1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 152 >> Следующая


Частные производные вектора или тензора по пространственным координатам (например, Am^v или Qap—Va... ,v) сами по себе не являются компонентами тензора. Это обстоятельство, а также криволинейность координат, необязательная в плоском и неизбежная в искривленном пространстве, которую необходимо учитывать, приводят к идее о ковариантном дифференцировании.

Тензор, возникающий при дифференцировании тензора Q с компонентами Qap - Ve..., обозначается VQ и имеет компоненты

Qa?"'v6...; a = Qa?"'va...,a + ravtfQv?"'vo... +

+TKaQav-^...+...-T\aQ^-v&... -TvSoQaP-" vv...

(для каждого индекса исходного тензора Q имеется по одному «поправочному» члену). Величины Г называются символами Крис-тоффеля, или коэффициентами (аффинной) связности. В координатном репере они связаны с частными производными метрического тензора соотношениями

ra?Y = ^rM?Y = Y gav (g^?, y + g»v. p - gfiy, „)

(первое равенство служит определением величины rM?Y). Символы Кристоффеля представляют собой наборы чисел, но не являются компонентами тензора (преобразуются не так, как тензор).

Свертка ковариантной производной тензора и вектора и называется производной тензора Q по направлению и:

(VQ) • и = VuQ = Qal5" VS--JvWv-

Если вектор и совпадает с касательной к кривой, на которой введен параметр X, то иногда вместо иа = dxa/dX пишут u = d/dX и

V Q = — УиЧ — dk '

Если вектор и совпадает с одним из базисных векторов ек, то VuQ принято записывать в виде

Ve Q = VaQ. 50

ГЛАВА 1

Базисные векторы еа позволяют представить символы Кристоф-феля в виде

V?e<x = rtlcc?eu или Tliap = Cll-Vpea.

Оператор ковариантного дифференцирования у обладает всеми хорошими свойствами, которые можно ожидать от оператора дифференцирования, за исключением того, что в искривленном пространстве VuVv Ф VvVu (СМ- Гл- 9).

Пусть и —вектор, касательный к некоторой кривой. Мы скажем, что тензор Q параллельно переносится вдоль этой кривой, если

VuQ = O.

Если параллельно переносится сам касательный вектор и, т. е. если

VuU = O

(иначе говоря, если касательный вектор «ковариантно постоянен», то кривая называется геодезической — обобщением прямой в плоском пространстве. Если ха (А,) — геодезическая (ua = dxa/dX), то компоненты уравнения геодезической имеют вид

0=(VuuF = ^ + ««u?rv

Параметр % дожен быть аффинным вдоль кривой. Для неизотроп-ных кривых это означает, что параметр X должен быть пропорционален собственной длине.

Пусть кривая времениподобна, и — касательный вектор к кривой и а = = Du/dx. Говорят, что вектор V переносится вдоль и в смысле Ферми — Уокера, если

VuV = (и <g> а - а ® и) • V.

Задача 7.1. Доказать, что коэффициенты. связности Tapv не удовлетворяют закону преобразования тензоров.

Задача 7.2. Предположим, что в 2-мерном плоском евклидовом пространстве, описываемом полярными координатами г, ft, геодезическими служат обычные прямые.

а) Пользуясь тем, что геодезические известны, и уравнением геодезических

d2xP dxadx Ppll n найти коэффициенты связности ГаРу. ЗАДАЧИ

16

б) Предположим, что в декартовых координатах х, у, связанных с полярными координатами г, ft, как обычно, ковариантная структура задана соотношениями

Txxx—Г хХу=... = 0.

Пользуясь законом преобразования коэффициентов связности, вычислить их в полярных координатах г, ft.

в) Исходя из линейного элемента ds2 = dr2-\-r2 dft2, найти символы Кристоффеля обычным способом —как производные компонент метрического тензора ^u,. (Разумеется, символы Кристоффеля, вычисленные всеми тремя способами, должны совпадать.)

Задача 7.3. Рассмотрим уже знакомое нам метрическое пространство

ds2 = dr2 + r2d®2.

а) Написать 2 уравнения, вытекающие из уравнения геодезических, и доказать, что

г2 ^ = R0 = const,

ds/ + ''(? =1

— первые интегралы этих уравнений.

б) Пользуясь результатами, полученными в п. „а", вывести дифференциальное уравнение первого порядка для л (ft) (иначе говоря, исключить параметр s и ввести вместо него параметр ft).

в) Пользуясь тем, что метрическое пространство ds2=dr2 г2 dft2 является плоским 2-мерным евклидовым пространством, написать общее уравнение прямой в полярных координатах г, ft. Проверить, что прямая удовлетворяет уравнению, выведенному в п. „б".

Задача 7.4. Найти все коэффициенты связности Гару и все времениподобные геодезические для 2-мерной метрики ds2 = = (dx2 - dt2)/t2.

Задача 7.5. Доказать, что метрический тензор ковариантно постоянен.

Задача 7.6. Доказать, что в координатном репере с диагональным метрическим тензором символы Кристоффеля определяются соотношениями

IVvl=O,

IV-^(MIfcI)H PW'- ? (In < [ Hm I >''•>. 52

ГЛАВА 1

Здесь їх ф V Ф X, и по повторяющимся индексам суммирование не производится.

Задача 7.7. Доказать следующие тождества:

а) Sa?, Y = Гсфу + TpavJ

б) я«^.*=—Л«»,,,;

в) gaP,Y=-rVp-rVv^ot;

Г) g.a = ~ gg^\ a == ggPvg?Y.

д) Taap==(InIgrI1^)1P (в координатном репере);

е) g^TV = — -Ij7- IgavIg l'/'lv (в координатном репере);

Iffl

ж) Л% =—Jn- (IgIv2^a)ia (в координатном репере);
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed