Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Частные производные вектора или тензора по пространственным координатам (например, Am^v или Qap—Va... ,v) сами по себе не являются компонентами тензора. Это обстоятельство, а также криволинейность координат, необязательная в плоском и неизбежная в искривленном пространстве, которую необходимо учитывать, приводят к идее о ковариантном дифференцировании.
Тензор, возникающий при дифференцировании тензора Q с компонентами Qap - Ve..., обозначается VQ и имеет компоненты
Qa?"'v6...; a = Qa?"'va...,a + ravtfQv?"'vo... +
+TKaQav-^...+...-T\aQ^-v&... -TvSoQaP-" vv...
(для каждого индекса исходного тензора Q имеется по одному «поправочному» члену). Величины Г называются символами Крис-тоффеля, или коэффициентами (аффинной) связности. В координатном репере они связаны с частными производными метрического тензора соотношениями
ra?Y = ^rM?Y = Y gav (g^?, y + g»v. p - gfiy, „)
(первое равенство служит определением величины rM?Y). Символы Кристоффеля представляют собой наборы чисел, но не являются компонентами тензора (преобразуются не так, как тензор).
Свертка ковариантной производной тензора и вектора и называется производной тензора Q по направлению и:
(VQ) • и = VuQ = Qal5" VS--JvWv-
Если вектор и совпадает с касательной к кривой, на которой введен параметр X, то иногда вместо иа = dxa/dX пишут u = d/dX и
V Q = — УиЧ — dk '
Если вектор и совпадает с одним из базисных векторов ек, то VuQ принято записывать в виде
Ve Q = VaQ.50
ГЛАВА 1
Базисные векторы еа позволяют представить символы Кристоф-феля в виде
V?e<x = rtlcc?eu или Tliap = Cll-Vpea.
Оператор ковариантного дифференцирования у обладает всеми хорошими свойствами, которые можно ожидать от оператора дифференцирования, за исключением того, что в искривленном пространстве VuVv Ф VvVu (СМ- Гл- 9).
Пусть и —вектор, касательный к некоторой кривой. Мы скажем, что тензор Q параллельно переносится вдоль этой кривой, если
VuQ = O.
Если параллельно переносится сам касательный вектор и, т. е. если
VuU = O
(иначе говоря, если касательный вектор «ковариантно постоянен», то кривая называется геодезической — обобщением прямой в плоском пространстве. Если ха (А,) — геодезическая (ua = dxa/dX), то компоненты уравнения геодезической имеют вид
0=(VuuF = ^ + ««u?rv
Параметр % дожен быть аффинным вдоль кривой. Для неизотроп-ных кривых это означает, что параметр X должен быть пропорционален собственной длине.
Пусть кривая времениподобна, и — касательный вектор к кривой и а = = Du/dx. Говорят, что вектор V переносится вдоль и в смысле Ферми — Уокера, если
VuV = (и <g> а - а ® и) • V.
Задача 7.1. Доказать, что коэффициенты. связности Tapv не удовлетворяют закону преобразования тензоров.
Задача 7.2. Предположим, что в 2-мерном плоском евклидовом пространстве, описываемом полярными координатами г, ft, геодезическими служат обычные прямые.
а) Пользуясь тем, что геодезические известны, и уравнением геодезических
d2xP dxadx Ppll n найти коэффициенты связности ГаРу.ЗАДАЧИ
16
б) Предположим, что в декартовых координатах х, у, связанных с полярными координатами г, ft, как обычно, ковариантная структура задана соотношениями
Txxx—Г хХу=... = 0.
Пользуясь законом преобразования коэффициентов связности, вычислить их в полярных координатах г, ft.
в) Исходя из линейного элемента ds2 = dr2-\-r2 dft2, найти символы Кристоффеля обычным способом —как производные компонент метрического тензора ^u,. (Разумеется, символы Кристоффеля, вычисленные всеми тремя способами, должны совпадать.)
Задача 7.3. Рассмотрим уже знакомое нам метрическое пространство
ds2 = dr2 + r2d®2.
а) Написать 2 уравнения, вытекающие из уравнения геодезических, и доказать, что
г2 ^ = R0 = const,
ds/ + ''(? =1
— первые интегралы этих уравнений.
б) Пользуясь результатами, полученными в п. „а", вывести дифференциальное уравнение первого порядка для л (ft) (иначе говоря, исключить параметр s и ввести вместо него параметр ft).
в) Пользуясь тем, что метрическое пространство ds2=dr2 г2 dft2 является плоским 2-мерным евклидовым пространством, написать общее уравнение прямой в полярных координатах г, ft. Проверить, что прямая удовлетворяет уравнению, выведенному в п. „б".
Задача 7.4. Найти все коэффициенты связности Гару и все времениподобные геодезические для 2-мерной метрики ds2 = = (dx2 - dt2)/t2.
Задача 7.5. Доказать, что метрический тензор ковариантно постоянен.
Задача 7.6. Доказать, что в координатном репере с диагональным метрическим тензором символы Кристоффеля определяются соотношениями
IVvl=O,
IV-^(MIfcI)H PW'- ? (In < [ Hm I >''•>.52
ГЛАВА 1
Здесь їх ф V Ф X, и по повторяющимся индексам суммирование не производится.
Задача 7.7. Доказать следующие тождества:
а) Sa?, Y = Гсфу + TpavJ
б) я«^.*=—Л«»,,,;
в) gaP,Y=-rVp-rVv^ot;
Г) g.a = ~ gg^\ a == ggPvg?Y.
д) Taap==(InIgrI1^)1P (в координатном репере);
е) g^TV = — -Ij7- IgavIg l'/'lv (в координатном репере);
Iffl
ж) Л% =—Jn- (IgIv2^a)ia (в координатном репере);