Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Igl12
з) AJ>. р = -L7 (I g I1ZMaP), р - Г^Л^ (в координатном репере);
Igl -
и) Л"Р.р = —^rr (IgrT3^ap) р (в координатном репере, если тен-
. а ' 'gI зор Ла|1 антисимметричен);
к) ? 5 = S;a = —ТТ77 (1511/з р). а (в координатном репере).
Igl"
Задача 7.8. Пусть Л == det (/Ima,), где Aliv — тензор второго ранга. Доказать, что А не скаляр, т. е. что значение А изменяется при преобразованиях координат. Поскольку А не скаляр, ковариантную производную нельзя определить как Л;а=Ліа. Каким образом следует определить Л;а (через Ajx и Л)?
Задача 7.9. В некоторой заданной точке P геодезическая времениподобна. Доказать, что она времениподобна в любой своей точке. Аналогичные утверждения справедливы для геодезических, пространственноподобных и изотропных в точке Р.
Задача 7.10. Вывести уравнение геодезических, пользуясь определением геодезической как кривой экстремальной длины.
Задача 7.11. Аффинным называется параметр X, при котором уравнение геодезических приводится к виду
dV , г„ dxP dxv
d№ + P У dl dX~ •
Доказать, что все аффинные параметры связаны линейными преобразованиями с постоянными коэффициентами.
Задача 7.12. Доказать, что в плоском пространстве-времени закон сохранения для 4-импульса свободно движущейся частицы ЗАДАЧИ
16
можно записать в виде Vpp = 0. Доказать также, что частицы с нулевой массой покоя движутся вдоль времениподобных геодезических.
Задача 7.13. Предположим, что координата х1 циклическая, т. е. компоненты метрического тензора gaf, не зависят от Xі. Доказать, что если р —импульс свободно движущейся частицы, то компонента P1 постоянна вдоль мировой линии частицы.
Задача 7.14. Доказать следующий вариант принципа Ферма, справедливый в общей теории относительности. В любой статической метрике (gty=ga? 0 = 0) рассмотрим все изотропные кривые, проходящие через две точки пространства х> = а> и х> = Ы. Чтобы добраться из а/ в Ы вдоль каждой такой изотропной кривой Xj (t), необходимо затратить определенное координатное время At. Доказать, что кривые с экстремальным временем At являются изотропными геодезическими пространства-времени.
Задача 7.15.
а) Доказать, что геодезические в пространстве скоростей с метрикой, введенной в задаче 6.8, служат траекториями, следуя по которым с переменной скоростью, космический корабль расходует наименьшее количество топлива.
б) Космический корабль, летящий в межзвездном пространстве со скоростью V1 (относительно Земли), изменяет скорость полета (новая скорость равна V2) так, чтобы свести до минимума расход топлива. Какова наименьшая скорость космического корабля относительно Земли за время этого маневра?
Задача 7.16. В точке 1O1 = 1O10, ф = 0 на поверхности 2-сферы ds2 = ^iO2 + sin21O dy2 вектор А равен е^. Во что перейдет вектор А после параллельного переноса вдоль окружности O1 = 1O0? Чему равна величина вектора А?
Задача 7.17. Рассмотрим наблюдателя, движущегося с 4-ско-ростью и и переносящего с собой 4 базисных вектора еа по закону
^uea= Л^ер.
Каков наиболее общий вид тензора Aa1', если:
1) Базисные векторы должны быть ортонормированными?
2) Должно еще выполняться равенство eg = и (т. е. система отсчета должна совпадать с системой покоя наблюдателя)?
3) Кроме того, пространственные векторы не должны порождать повороты (т. е. наблюдатель должен видеть, что на свободно падающие частицы не действуют кориолисовы силы)? 54
ГЛАВА 1
Задача 7.18. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если их подвергнуть переносу Ферми —Уокера вдоль кривой с<§.
Задача 7.19. Доказать, что перенос Ферми —Уокера вдоль геодезической совпадает с параллельным переносом.
Задача 7.20. Записать следующие выражения в безындексных обозначениях:
a) UaxbUW*, б) Va-^W-Ua.^,
в) T^iyVaWWyt г) Wa^VfryUv,
д) wa- v?^? + wa- yw, ?t/? - ual ?w?; yuv.
Задача 7.21. Доказать, что траектории световых лучей в статическом изотропном пространстве-времени можно описать, введя надлежащим образом подобранный «показатель преломления» п (х>), изменяющийся от одной точки пространства к другой. Как показатель преломления п зависит от компонент метрического тензора gap? Предположить, что ga? имеет вид
ds2 = g00 dt'1 — / (dx] + dx\ + dx\).
Задача 7.22. Пьяный астронавт включает двигатели своего корабля короткими импульсами, «выстреливая» выхлопными газами беспорядочно в разные стороны. По измерениям, произведенным в мгновенно сопутствующей системе отсчета, каждое включение двигателей соответствует бусту на Au <;с. Найти распределение вероятности для скорости космического корабля после п включений двигателей, где л —очень большое число. Доказать, что пьяный астронавт разгонит свой корабль до релятивистских скоростей с гораздо меньшей эффективностью, чем его трезвый коллега (неукоснительно следящий за тем, чтобы корабль двигался в одну и ту же сторону): для достижения одной и той же скорости число включений двигателей у пьяного астронавта в среднем будет больше в Зс/Ду раз.
Задача 7.23.
