Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 5.20. Пользуясь уравнениями движения (Tlivlv = O), доказать, что течение идеальной жидкости изэнтропическое.
Задача 5.21. Доказать, что для идеальной жидкости с уравнением состояния р = р (п), где п — плотность барионов, след тензора энергии-импульса Т\ отрицателен в том и только в том случае, если
d In р _4_ Jlrin^ 3~'
Задача 5.22. Доказать, что в релятивистской идеальной жидкости скорость звука извук определяется соотношением
др
Vзвук - ф
S = const
Доказать также, что при высоких температурах в релятивистском газе с уравнением состояния P (например, в фотонном газе)
f звук ^ 1/КЗ.
Задача 5.23. Скорость звука в жидкости определяется соотношением Узвук = др/др |s=Const- Доказать, что
Узвук = Г1р/(р+р),
где T1 — показатель адиабаты:
д In р
T1 =
din л
S = const
Задача 5.24. Чему равна скорость звука в идеальном ферми-газе при нулевой температуре?
Задача 5.25. В релятивистской аэродинамической трубе поток создают, открывая баллон с идеальным адиабатически сжатым газом. Предположим, что уравнение состояния газа в первом приближении имеет вид где у — постоянная, а скорость
звука в газе равна а. Какова наибольшая скорость потока і>мокс в такой трубе? (Гравитационными силами пренебречь. Поток считать изэнтропическим.)
Задача 5.26. Для идеализированного описания потока тепла в жидкости используют 4-вектор потока тепла q с компонентами в системе покоя жидкости <7° = 0, qi = (энергии, проходящей в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную ЗАДАЧИ
16
базисному вектору е, в положительном направлении оси /). Какой тензор энергии-импульса соответствует потоку тепла?
Задача 5.27. Пусть s, п, и q означают соответственно энтропию, приходящуюся на один барион, плотность барионов и поток тепла, измеренные в системе покоя жидкости. В этой системе отсчета 4-вектор q чисто пространственный. Пусть S —4-вектор потока плотности энтропии. Доказать, что
S = «su + q/T, где и —4-скорость системы покоя жидкости.
Задача 5.28. Предположим, что жидкость обладает некоторой теплопроводностью, описываемой 4-вектором q потока тепла, а в остальном «идеальна». Вычислить локальную скорость производства энтропии V'S.
Задача 5.29. Доказать, что в системе, движущейся равномерно ускоренно, условие теплового равновесия имеет вид не T = Const = T0, а
Т = Т0ехр (-а-х),
где ~х — пространственная часть радиус-вектора события относительно системы отсчета, движущейся с ускорением.
Задача 5.30. Тензор энергии-импульса для вязкой жидкости имеет вид
T01P = р UaU? +рРа$ - 2Т1СГ*Р - ZfiPa^,
где г) и ? —соответственно первая и вторая вязкости. Величины а'у-р, 1O11 определены так же, как в задаче 5.18. Давление и плотность равны р и р. Доказать, что вязкие члены приводят к производству энтропии со скоростью
sa: a =№* + 2г\Оа^)/Т,
где T — температура жидкости. (Указание. Сначала необходимо доказать, что в отсутствие потока тепла Sa. a=[dp/dx + Ф (р + р)]/Т, а затем, продифференцировав соотношение р«р = — Ta^ua, найти dp/dx.)
Задача 5.31. Тензор энергии-импульса имеет вид Ta I5 = р UaUfi + pPaf5 - - ^Pa Р. Доказать, что уравнения движения, выведенные из соотношения
Tap р= О,
в нерелятивистском пределе переходят в уравнения Навье — Стокса. 44
ГЛАВА 1
Задача 5.32. Как и в нерелятивистской термодинамике, удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении определяются соотношениями
т ds ' ' dT
— Т—L
Cp-I dT
Доказать, что для идеального газа Максвелла — Больцмана Cp= =cv-\-k, где k — постоянная Больцмана. Доказать также, что показатель адиабаты
г _dlnP
1~д\пп
равен отношению удельных теплоемкостей
у == cp/cv.
Задача 5.33. Доказать, что если для идеального газа Максвелла — Больцмана отношение удельных теплоемкостей у в рассматриваемом режиме приближенно можно считать постоянным, Top = Kny и при адиабатических условиях р = mn + KnyKy — 1) (К — постоянная, т — масса частиц газа).
Задача 5.34. Инвариантная функция равновесного распределения релятивистского газа имеет вид
dN (2J+\)!h?
Ш(ра, X?) =
daxd3P
expI-"!^-0]-8'
где J-спин частиц, ft —постоянная Планка, и —средняя 4-ско-рость газа, а параметр є равен 1, 0 или —1 в зависимости от того, какой статистике (Бозе—Эйнштейна, Максвелла — Больцмана или Ферми— Дирака) подчиняется газ. Параметр Ф не зависит от Р. Первые два момента функции распределения 9Ї определяются формулами
m _ С а> Гш dap rPixv — Г т nu pv dip
J (-P-")' — J (-P-U)
Поскольку и — единственный свободный вектор, то эти интегралы должны иметь вид
Jtl = пФ, T^ = (р+р) иУ-иУ + Pgliv
(выписанные соотношения представляют собой не что иное, как определения, даваемые молекулярно-кинетической теорией для величин п, р, р).
а) Записать п, р и р в виде 1-мерных интегралов.
б) Вывести соотношение
dp = (р + p)lTdT + nkTdu. ЗАДАЧИ
16
в) Исходя из первого начала термодинамики, доказать, что kT'O1 совпадает с химическим потенциалом \i = (p-\-p)/n — Ts.
