Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
д -tea?gY6-ga6??v) A«APBW°
называется римановой кривизной 2-мерной поверхности в этой точке. Доказать, что риманова кривизна К не изменится, если векторы А и В заменить их линейными комбинациями.
Задача 9.24. Пусть ^ — риманова кривизна в некоторой точке на 2-мерной поверхности, определенная в задаче 9.23. Доказать, что если А и В — касательные векторы в этой точке к 2-мерной поверхности, а вектор А подвергнут параллельному переносу по малому контуру, лежащему на 2-мерной поверхности, то изменение угла между векторами А и В по порядку величины будет равно
Aft = IAASI,
где — площадь участка 2-мерной поверхности, заключенного внутри контура.
Задача 9.25. Предположим, что в некоторой точке P риманова кривизна К, определенная в задаче 9.23, не зависит от того, какая 2-мерная поверхность проведена через эту точку. Дока- ЗАДАЧИ
77
зать, что тогда
Rafryd = К (gayg?o — gaog?y)-
Задача 9.26. Доказать, что если риманова кривизна изотропна, то тензор кривизны Римана можно представить в виде
Ra?yo = К (gayg?b — gaog?y)-
Пользуясь тождествами Бианки, доказать, что в этом случае риманова кривизна К должна быть постоянной (теорема IIIypa).
Задача 9.27. Доказать, что если тензор Римана можно представить в виде
R%HVH — К (g Xvgfin — gxxg[iv)i то пространство конформно-плоское.
Задача 9.28. В точке q на 3-поверхности ? (фиг. 1) касаются 2 кривые: 1) Cs —кривая на 3-поверхности и 2) С —геодезическая 4-мерного пространства, в которое вложена 3-поверхность
Фиг. 1.
Пусть п —единичный вектор нормали к поверхности S- Вектор Iа = 1Z2Urx- рыр (где и — касательный вектор к Cs) служит мерой скорости, с которой расходятся кривые С и Cs- Доказать, что скорость расхождения п-| можно представить в виде
П| = J KafiUaU*,
гд Ka? — теензор внешней кривизны для Ц.
Задача 9.29. Найти внешнюю кривизну сечения т = const метрики
ds' = — dx2 і аг (т) [vy (xk) dxl dxJ\. 84
ГЛАВА Ij
Задача 9.30. Доказать, что внешняя кривизна времениподобной гиперповерхности с единичным вектором нормали п равна -1Z2XnPa^, где Pap == — пащ — проекционный тензор (проектирующий на эту гиперповерхность).
Задача 9.31. Если пренебречь силой тяжести, то потенциальная энергия, обусловленная поверхностным натяжением мыльной пленки, пропорциональна площади пленки. Следовательно, мыльная пленка, натянутая на некоторый контур, в состоянии равновесия принимает форму, соответствующую минимальной площади. Доказать, что отсюда следует равенство нулю «средней кривизны» (К = Kiі) мыльной пленки в состоянии равновесия.
Задача 9.32. Пусть п — единичная нормаль к гиперповерхности ?(пп=е, где е = + 1 для времениподобной И 8 = — 1 для пространственноподобной гиперповерхности). В гауссовых нормальных координатах (см. задачу 8.25), построенных на гиперповерхности 2» метрика имеет вид
ds2 = г dti2 + ^gij dxi dx>. Вывести уравнения Гаусса — Кодацци
wRmUk - 18^V + S [KljKk"1 - KikKr), wRnilk = z{KikU-Kink).
Индексы 4 и 3 относятся соответственно к геометрии пространства-времени и геометрии гиперповерхности вертикальная черта означает ковариантное дифференцирование по ^gij, компонента тензора Римана, построенная на базисном векторе п, имеет индекс п. Вывести также уравнение для оставшейся компоненты тензора Римана
wRnink = е (Kik, п + KimKmk).
Задача 9.33. Пользуясь результатами задачи 9.32, вывести выражения для компонент u)Gap тензора Эйнштейна в гауссовых нормальных координатах.
Задача 9.34. Собственные значения и собственные векторы тензора внешней кривизны называются главными кривизнами и главными направлениями кривизны. Найти главные кривизны и направления кривизны для следующих поверхностей, погруженных в 3-мерное евклидово пространство:
1) сферы x2 + y2 + z2=a2,
2) цилиндра X2 + у2 = а2,
3) квадратичной поверхности (вычисления провести только в начале координат) z = 1/2(ax2 + 2bxy + cy2). ЗАДАЧИ
77
Задача 9.35. Доказать, что если ? — 2-мерная поверхность в плоском 3-пространстве, то ее скалярная кривизна равна
2
(2)
R-
Р1Р2
где pi и р2 —главные радиусы кривизны поверхности Как выглядит аналогичная формула для 3-поверхности, погруженной в плоское 4-пространство? ГЛАВА Ю
ВЕКТОРЫ КИЛЛИНГА И СИММЕТРИИ
Пусть геометрия обладает симметрией, которая состоит в том, что существует векторное поле I, обладающее следующим свойством: если любое множество точек сместить на I ?U (dX — бесконечно малая величина), то все метрические соотношения между точками множества останутся неизменными. Векторное поле | называется векторным полем Киллинга рассматриваемой геометрии и удовлетворяет уравнению Киллинга
S(c« Р) — Y К»; ? ~
Задача 10.1. Решив уравнения Киллинга, найти векторные поля Киллинга для 2-сферы
ris2 = rift2 + sin* ft гіф2. Задача 10.2. Доказать, что уравнение Киллинга
р + I?; а =" О
эквивалентно уравнению
^sg=О,
где g — метрический тензор. Выяснить геометрический смысл этого утверждения.
Задача 10.3,
а) Доказать, что коммутатор двух векторных полей Киллинга является векторным полем Киллинга.
