Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтман А. -> "Сборник задач по теории относительности " -> 14

Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.

Лайтман А., Пресс В. Прайс Р., Тюкольски Сборник задач по теории относительности — М.: Мир, 1979. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoteoriiotnositelnosti1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 152 >> Следующая


г) Доказать, что для газа Максвелла — Больцмана p = nkT при любой температуре Т.

д) Доказать, что для газа Максвелла — Больцмана соотношение р = п ^m + у (kТ)j является приближенным и справедливо

лишь при kT Вывести точное соотношение для р/п. Во что переходит р/п в пределе при kT ^ т? (Здесь т — масса частицы газа.)

Задача 5.35. Найти зависимость 7 (T) отношения удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме от температуры для идеального газа Максвелла — Больцмана. ГЛАВА 6 МЕТРИКА

Метрическая геометрия — геометрия, определяемая формулой расстояния между двумя бесконечно близкими точками ds2— —gap dxa — лежит в основе общей теории относительности и большинства последующих глав этой книги. Разумеется, особо важную роль играет метрика пространства-времени, которую чисто формально можно локально преобразовать в метрику Минковского. Это означает, что для любой точки P в пространстве-времени существует преобразование координат, в результате которого в точке P будет выполняться равенство

ga? = 1Iap-

Задача 6.1.

а) Доказать, что 2-мерное пространство с метрикой

ds2 = dv2 — v2 du2 (1)

представляет собой не что иное, как плоское 2-мерное пространство Минковского, обычно описываемое метрикой

ds2 = dx2 — dt2. (2)

Для этого необходимо найти преобразования координат х (v, и) и t(v, и), переводящие метрику (2) в метрику (1).

б) Доказать, что для свободно движущейся частицы компонента 4-импульса Pn постоянна, а компонента Pv отлична от постоянной.

Задача 6.2. Доказать, что линейный элемент ds2 = R2 [da2 + sin2 a (dfl2 + sin2 O d<p2)]

соответствует гиперсфере радиуса R в евклидовом 4-пространстве, т. е. геометрическому месту точек, отстоящих на расстоянии R от некоторой заданной точки. ЗАДАЧИ

16

Задача 6.3, Метрика для поверхности земного шара имеет

вид

ds2 = a2 (dk2 + COS2Idy2),

где К — широта, а ф —долгота. Метрика плоской карты мира с прямоугольными координатами х и у имеет вид

ds2 = dx2 + dy2.

Нас интересует не геометрия карты, а геометрия изображенной на ней поверхности земного шара. Записать метрику земной поверхности в координатах х и у, нанесенных на карту мира: а) в цилиндрической проекции, б) в стереографической проекции.

Задача 6.4. Проекция Меркатора определяется следующим образом. На карте вводятся прямоугольные координаты (х, у), такие, что любая прямая на карте соответствует линии постоянного азимута (фиксированного положения стрелки компаса) на поверхности земного шара.

а) Доказать, что в проекции Меркатора точке на поверхности земного шара со сферическими координатами (ft, (р) на карте соответствует точка с координатами х = <р, у = In ctg (ft/2).

б) Как записывается метрика земного шара в координатах (х, у)?

в) Доказать, что, за исключением особых случаев, когда у = 0 или x = const, большим кругам соответствуют трансцендентные кривые sht/ = asin(x + ?).

Задача 6.5. Внешне некоторое пространство выглядит как 3-мерное с координатами х, у, г и метрикой

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 — ^ dx + ^ dy + dz J.

Доказать, что в действительности оно двумерное, и найти две новые координаты ? и і], в которых линейный элемент принимает вид

ds2 = d?2-{-dr\2.

Задача 6.6. Доказать, что свертка вектора V с «проекционным тензором» P=g+u®u проектирует вектор V на 3-прост-ранство, ортогональное вектору 4-скорости и. Если п —единичный временилодобный вектор, то соответствующий ему проекционный оператор имеет вид P = g — n®n (доказать). Доказать также, что проекционный оператор, ортогональный изотропному вектору, определен неоднозначно. 48

ГЛАВА 1

Задача 6.7. Доказать, что при любой функции / конформное преобразование метрики ga?""*-Z(^m) ga? сохраняет все углы. (Как определить углы?) Доказать также, что все изотропные кривые под действием конформного преобразования переходят в изотропные кривые.

Задача 6.8. Метрику в пространстве скоростей частицы можно ввести, определив расстояние между двумя близкими скоростями как их относительную скорость. Доказать, что эту метрику можно привести к виду

ds2 = d%2 + sh2 % (d№ + sin2 ft dcp2). где величина скорости у = th х

Задача 6.9. На многообразии, обладающем топологией 2-сферы, в окрестности точки "О1 = -^-, X = O введена метрика

ds2 = d$2 + (ft-W)2d%2.

На многообразии имеется ровно одна точка, которая не является локально плоской,—в этой точке многообразие имеет «коническую» особенность11. Доказать, что существуют два различных максимальных аналитических продолжения метрики (т. е., что метрику можно продолжить двумя различными способами), удовлетворяющих условию, согласно которому у многообразия существует лишь одна коническая особенность. Это означает, что в локальных координатах метрика не всегда «ухватывает» глобальную структуру многообразия. (Указание. Рассмотреть периодичность координаты х-)

Задача 6.10. Найти наиболее общий вид (пространственно) сферически-симметричной метрики пространства-времени.

1' См. также задачу 16.15. — Прим. ред. ГЛАВА 7

КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed