Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
б) Доказать, что в этом случае момент количества движения (внутренний момент количества движения) можно найти по вектору спина из соотношения
Ja^ м). == SaP = — EaWSyU6.
Задача 11.6. Два тела А и В обладают импульсами Pa и Pb и спинами Sil и Sb. Их центры масс расположены так, что тела сталкиваются. После столкновения тела слипаются, образуя составное тело С со спином Sc. Вычислить Sc через Рл, Рв, S4 и Sb.
Задача 11.7. (Томасова прецессия.) Рассмотрим («классический») вращающийся электрон, который, обращаясь по круговой орбите вокруг атомного ядра, переносит свой спиновый момент количества движения S по Ферми — Уокеру. Относительно лабо- ЗАДАЧИ__77
раторной системы отсчета электрон движется по круговой орбите радиуса г в плоскости ху с постоянной угловой скоростью (о. Вычислить спин как функцию времени S (t) в лабораторной системе отсчета.
Задача 11.8. На несферическое вращающееся тело в неоднородном гравитационном поле действует момент, вынуждающий 4-вектор внутреннего спина S изменяться со временем. Доказать, что если и —4-скорость центра масс тела, свободно движущегося вдоль геодезической, то
ig! =
где ^ptl-«тензор приведенного квадрупольного момента»
= J P (XiX' - I r26'>) d*x в системе покоя центра масс,
№иа = О,
а тензор Римана порожден внешними (по отношению к рассматриваемому телу) источниками и предполагается постоянным во всем теле.
Задача 11.9. Вычислить период прецессии земной оси, вызванной взаимодействием создаваемых Луной и Солнцем приливных сил с квадрупольным моментом (слегка несферической) Земли,
Задача 11.10. Рассмотрим группу стационарных наблюдателей в стационарном пространстве-времени (т. е. наблюдателей, у которых 4-скорость пропорциональна времениподобному вектору Киллинга I = d/dt. Каждый наблюдатель ориентирует свои пространственные базисные векторы так, что они все время t направлены на одних и тех же соседних наблюдателей.
1) Доказать, что <3?|Є.<=0, где еа — базисный вектор стационарного наблюдателя.
2) Доказать, что скорость изменения компонент любой тензорной величины Q, измеренная стационарным наблюдателем в единицах t, равна
"5" -Что такое ?
3) Стационарный наблюдатель переносит с собой гироскоп, не прилагая к нему никаких моментов. Доказать, что вектор спина гироскопа прецессирует относительно стационарного наблю- 84
ГЛАВА Ij
дателя (эффект Лензе — Тирринга) с угловой скоростью
m«..... ^axIvU %
измеренной в единицах собственного времени.
4) Доказать, что если пространство-время статично, а не только стационарно, то со = 0.
Задача U.U. Гироскоп выведен на круглую орбиту вокруг Земли. К нему не приложены никакие моменты. С какой угловой скоростью прецессирует вектор его спина в системе отсчета, неподвижной относительно далеких звезд («геодезическая прецессия» и «эффект Лензе — Тирринга»). ГЛАВА 12
ФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ГРАВИТАЦИИ
В этой главе содержатся задачи, в которых рассматриваются физические проявления гравитационных взаимодействий. В большинстве задач используется ньютоновский предел, в котором тяготение описывается скалярным потенциалом U, удовлетворяющим уравнению
VHJ = - 4яр и создающим гравитационное ускорение
g=VU.
(В литературе иногда используется потенциал Фее — U.) В ньютоновской теории приливные силы зависят от д^Ф/дх'дх11) этим силам отвечают компоненты Rjoko тензора Римана в соответствующем пределе уравнения расхождения геодезических в общей теории относительности. В некоторых задачах рассматриваются следствия наличия у квантов гравитационного поля спина, равного 2, а также следствия слабости тяготения по сравнению с другими физическими взаимодействиями.
Задача 12.1. Небольшой спутник обращается с круговой частотой (о по орбите радиусом г вокруг центрального тела с массой т. Покажите, что если известна только круговая частота обращения спутника со, то мы не можем найти по отдельности ни г, ни т, а можем определить лишь эффективную «кеплеров-скую плотность» центрального тела Зт/4яг3, получающуюся путем усреднения его массы по сфере радиусом, равным радиусу орбиты. Выразите со2 через кеплеровскую плотность.
Задача 12.2. Оцените высоту сизигийных приливов (происходящих во время новолуния или полнолуния, когда Луна и Солнце находятся на одной линии с Землей) и квадратурных приливов (когда направления на Солнце и Луну составляют прямой угол).
Задача 12.3. Если амплитуду земных (упругих) приливов как функцию времени подвергнуть преобразованию Фурье, то в 84
ГЛАВА Ij
полученном спектре на определенных частотах будут максимумы. Каковы частоты (или периоды), соответствующие 10 наиболее значительным максимумам?
Задана 12.4. Положение Солнца на небе в принципе можно определить с помощью чувствительного приливного гравиметра. На какой угол отличается положение, определенное этим способом, от измеренного оптическими средствами? Далее, если бы истинное положение Солнца соответствовало его оптически наблюдаемому положению, то на Землю вдоль направления ее движения должна была бы действовать некая сила. Почему? Как бы в этом случае менялся со временем радиус земной орбиты?
