Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 12.17. Используя «геометризованные единицы длины» (т. е. систему единиц, в которой значения гравитационной постоянной G, скорости света с и постоянной Больцмана k приняты равными единице), выразите в сантиметрах значения следующих величин: U, заряд электрона, отношение е/т для электрона, массу Солнца, светимость Солнца, 300 К, 1 год, 1 В.
Задача 12.18. Сконструируйте «естественные» единицы длины, массы и времени из универсальных физических постоянных Й, Q и с.
Задача 12.19. Оцените боровский радиус «гравитационного атома», например для находящейся в низшем энергетическом состоянии системы двух нейтронов, связанных только гравитационным притяжением. ГЛАВА ІЗ УРАВНЕНИЯ
ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ И ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ
Гравитационное поле, описываемое метрикой пространства-времени ^liv, порождается тензором энергии-импульса материи Tvv. Были предложены различные уравнения поля, связывающие ^liv с T^v, но наибольших успехов на сегодняшний день позволили добиться уравнения Эйнштейна, лежащие в основе общей теории относительности:
Onv = Riiv — J gtivR = SnT1liv, (1)
где и R — тензор Риччи и скалярная кривизна, получаемые из метрики ^liv, a Gliv называется тензором Эйнштейна. Эти уравнения нелинейны, так как левая часть их не является линейной функцией метрики.
В приведенных ниже задачах обсуждаются и другие (не столь удачные) уравнения поля; вообще говоря, если это не оговорено особо, всюду следует исходить из уравнений Эйнштейна.
Уравнения движения Ttivjv = O следуют из уравнения (1); если желательно, чтобы тензор Ttiv удовлетворял еще каким-либо условиям (их называют «энергетическими условиями»), то они должны постулироваться независимо из физических соображений.
Когда гравитационное поле слабое, то геометрия пространства-времени близка к плоской и мы можем записать
g\l\ = 1It^v ~Ь fy.iv>
где все IZttivI^l- В этом случае уравнения (1) можно решить приближенно, с точностью до членов первого порядка по Ziliv. Ряд задач иллюстрирует применение такой «линеаризованной» теории.
Задача 13.1. Попытаемся несколько обобщить уравнения Эйнштейна, записав их в виде
RyiV — CLgiivR = SjtjTlilv, 84_ГЛАВА Ij_
где а —некоторая безразмерная постоянная. Покажите, что если аф1I2, то такие уравнения поля не согласуются с экспериментом даже в ньютоновском пределе.
Задача 13.2. В предложенной Нордстремом в 1913 г. метрической теории guv связывается с Tiiv посредством уравнений
CiIvpa = О» R = KgiivT^,
где CilvPa — тензор Вейля. Покажите, что эта теория в ньютоновском пределе и при подходящем выборе к согласуется с ньютоновской теорией тяготения, но не предсказывает эффекта отклонения световых лучей при их прохождении вблизи Солнца. Согласуется ли эта теория с результатами эксперимента Паунда — Ребки, т. е. испытывают ли в ней фотоны красное смещение при движении против поля тяготения вблизи поверхности Земли?
Задача 13.3. В теории тяготения Бранса — Дикке ([1], т. 3, стр. 315, а также [2], стр. 174 и далее, где приведены уравнения поля этой теории) измеряемая локально гравитационная «постоянная» Ньютона G меняется со временем и от точки к точке. Значение ее на бесконечности равно G00. Покажите, что G является постоянной внутри самогравитирующей сферической оболочки массы M и радиуса R. Для случая R 'j> GoaMIci выразите значение G внутри оболочки через М, R и G00 с точностью до членов низшего порядка по (GmMlRcz).
Задача 13.4. Согласно представлениям релятивистской квантовой механики, пустое пространство содержит виртуальные частицы. Из этого можно было бы заключить, что вакуум должен обладать ненулевым тензором энергии-импульса.
1) Какой вид должен иметь тензор энергии-импульса вакуума, если не должно существовать выделенной системы отсчета, связанной с вакуумом? Покажите, что возникающий в этом случае член в уравнениях поля можно интерпретировать как эффективную космологическую постоянную.
2) Предположим, что энергия вакуума обусловлена массой покоя виртуальных протонов или электронов, распределенных равномерно таким образом, что среднее расстояние между ними равно соответствующей комптоновской длине волны. Исключается ли существование такой плотности энергии вакуума наблюдательными фактами?
3) Я. Б. Зельдович1) предложил рассматривать плотность
!) См. Зельдович Я. В., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция звезд. —M.: Наука, 1971, стр, 43 и дале«. —Яріш, пврва. ЗАДАЧИ
77
массы-энергии вакуума как обусловленную только лишь гравитационным взаимодействием «близлежащих» виртуальных частиц (разделенных расстояниями порядка их комптоновской длины волны). Каково в этом случае значение плотности энергии вакуума? Опровергается ли оно наблюдательными фактами?
Задача 13.5. В некоторой локальной области пространства-времени наблюдатель находит, что скалярная кривизна Риччи практически постоянна, т. е. Почему должен быть
выбран знак «-)-»? Если эта область пространства-времени заполнена только электромагнитным полем, то чему равно R}
Задача 13.6. Обычно предполагается, что физически допустимый тензор энергии-импульса T?V должен удовлетворять (слабому) энергетическому условию: T00 0 для всех физических наблюдателей. Предположим, что у Tvv имеется времениподобный собственный вектор; каким образом в таком случае данный изолированный наблюдатель может проверить, удовлетворяет ли измеряемый им тензор Tvv этому условию?
