Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 14.13. Пусть тензор энергии-импульса безмассового скалярного поля записан в виде
TVv = (4п)-х (ФЛ - у •
Из уравнения Tftvjv = O выведите уравнение движения для этого скалярного поля.
Задача 14.14. Пусть в плоском пространстве-времени уравнение скалярного поля имеет вид
где Pi — плотность «скалярного заряда». Отсюда можно заключить, что в искривленном пространстве-времени это уравнение должно быть заменено на
$;viV = P,. (1) 84
ГЛАВА Ij
Возможно, однако, обобщенное выражение иного вида:
= (2)
где R — скаляр Риччи. [Уравнение (2) «конформно-инвариантно», а уравнение (1) —нет.] Противоречит ли, вообще говоря, уравнение (2) сильному принципу эквивалентности? Выясните, каким образом наличие Я-члена влияет на величину силы взаимодействия (^ Уф) между двумя частицами, несущими «скалярный заряд», если предположить, что кривизна R=Ifa2 очень медленно изменяется на расстояниях порядка лабораторных масштабов. Какова была бы величина этих аномальных сил, обусловленных R-членом, по сравнению с обычными скалярными силами, если бы измерения проводились в обычном лабораторном эксперименте?
Задача 14.15. Покажите, что из уравнений Максвелла
Fvv-,V = 4л Jv
вытекает
= 0.
Задача 14.16. Обобщение уравнений Максвелла на искривленное пространство-время с помощью правила «запятая переходит в точку с запятой» (или принципа эквивалентности) не является вполне однозначным. Покажите, что применение этого правила к векторному потенциалу Ati может привести к двум различным видам релятивистского уравнения.
Задача 14.17, Оцените относительную погрешность, привносимую в уравнения Максвелла (применяемые к какому-то земному процессу с характерной частотой v и размерами I) за счет того, что нам неизвестно, какого вида члены связи с кривизной могут в них содержаться.
Задача 14.18, Покажите, что, за исключением случая E-B = 0, однородные уравнения Максвелла Zrpvjv = 0 вытекают из требования V T-0, где Т —тензор энергии-импульса электромагнитного поля, и из того факта, что Fliv выводится из выражения для векторного потенциала.
Задача 14.19. Покажите, что гамильтониан, из которого получаются уравнения движения пробной частицы с зарядом в, имеет вид
Я =4 Sliv К - (Jiv -eAv), где U11 — канонический импульс. (Канонический импульс я^ не ЗАДАЧИ
77
совпадает с 4-импульсом частицы за исключением случаев, когда 4-потенциал Av- равен нулю.)
Задача 14.20. Предположим, что | —вектор Киллинга для некоторого решения уравнений Эйнштейна— Максвелла. Выпишите интеграл движения для заряженных пробных частиц. (Допустим, что =S5gA = 0, где А —4-потенциал.)
Задача 14.21. Покажите, что уравнения Максвелла инвариантны по отношению к «конформному преобразованию»:
= fga$, ^ot? ^a? = ^<x?>
где / — произвольная функция координат. ГЛАВА 15
ГЕОМЕТРИЯ ШВАРЦШИЛЬДА
Геометрией Шварцшильда называется сферически-симметричное статическое решение уравнений поля Эйнштейна в пустоте (T^v = O). В «координатах кривизны» (таких, что 2пг есть собственная длина периметра 2-мерных «сфер») метрика Шварцшильда имеет вид
ris2 = — (1 - ) dt2 + (1 - ^Pj'1 dr2 + г2 (rift2 + Sin2-O- гіф2).
Иногда угловой элемент записывают сокращенно: ri?2 = rift2 + sin2-© гіф2.
Постоянная M есть масса источника поля. Если метрика создается сферической звездой, то метрика Шварцшильда справедлива вне звезды, а на ее поверхности гладко сшивается с внутренней метрикой звезды.
Задача 15.1. Докажите, что квадрат полного момента количества движения
L2 = pb + sin~2ftp?
есть интеграл движения вдоль любой геодезической в метрике Шварцшильда.
Задача 15.2.
а) Докажите, что в геометрии Шварцшильда все орбиты являются плоскими.
б) Докажите, что все такие орбиты являются устойчиво плоскими.
Задача 15.3. Частица падает по радиусу на центр метрики Шварцшильда. Чему равна ее направленная к центру координатная скорость (dr/dt), измеряемая по собственному времени на бесконечности, при некотором значении радиуса г (в координатах кривизны)? Чему равна локально измеряемая скорость по отношению к неподвижному наблюдателю в точке с тем же значением радиуса? ЗАДАЧИ
77
Задача 15.4. Выведите уравнения движения (уравнения, связывающие t, г и т) для частицы, падающей по радиусу в геометрии Шварцшильда. Рассмотрите три случая: 1) частица высвобождается из состояния покоя при г = R; 2) частица высвобождается из состояния покоя на бесконечности; 3) частица испускается из бесконечности на центр со скоростью p00.
Задача 15.5. Выведите описывающее траекторию (г как функцию ф) дифференциальное уравнение первого порядка для экваториальных орбит в геометрии Шварцшильда.
Задача 15.6. Покажите, что траектории световых лучей в метрике Шварцшильда подчиняются уравнению
сРи . Г, п
-г-Г + W = OUi, d(f2 1 '
где и S М/г, а г — радиальная координата Шварцшильда. Обозначьте «прицельный параметр» —минимальное значение г вдоль траектории—через Ь. Каково отклонение фотона, пролетающего мимо сферического гравитирующего тела, в случае M/b<^ 1? Выведите формулу для угла отклонения в первом неисчезающем порядке по (Nl/b).
