Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 16.8. Политропные звезды [звезды, состоящие из вещества с уравнением состояния р = Kpy, где у = 1 + (п называется индексом политропы)] в ньютоновской теории неустойчивы, если у <4/з- Рассмотрите влияние малых релятивистских поправок на этот критерий устойчивости. Покажите, что влияние сводится к расширению области неустойчивости на значения у<4/з + е, где є может зависеть от массы, радиуса и внутреннего строения звезды.
Задачй 16.9. Найдите выражения для пределов Чандрасекара и Оппенгеймера — Волкова (верхние предельные значения массы соответственно для белых карликов и нейтронных звезд) в виде размерных комбинаций фундаментальных констант и масс нуклона и электрона. Аналогичным образом выразите предельные радиусы, соответствующие этим предельным массам.
Задача 16.10. Масса т(г), находящаяся в сферической звезде внутри сферы радиуса г, появляется в члене grr в выражении для линейного элемента
ds2 = — е2ф dt2 + (1 - 2т (г)/г)-1 dr2 + г2 du2.
Выразите т(г) не зависящим от координат образом — через площадь поверхности и радиальное расстояние между соседними сферическими поверхностями.
Задача' 16.11.
а) Как выглядит шварцшильдовская метрика в «излучатель-ных координатах» Эддингтона — Финкельштейна, получающихся из координат кривизны путем преобразования:
dt = du + (l-2M/r)~1dr.
б) Пусть теперь Al — функция координаты с нулевым индексом и, определенной в п. «а». Покажите, что пространство-время не является пустым, и найдите соответствующий ему тензор Т"Р. Дайте физическую интерпретацию этой метрики, называемой иногда метрикой Вайдья, 84
ГЛАВА Ij
Задача 16.12. Решите систему релятивистских уравнений внутреннего строения звезды для случая статической сферически-симметричной звезды с однородным распределением плотности. Покажите, что масса и радиус звезды удовлетворяют соотношению R/2M > 9/8. Какое минимальное значение R/2M может быть достигнуто при одновременном выполнении условия энергодоминантности (см. задачу 13.7)?
Задача 16.13. Статическая сферически-симметричная звезда состоит из ферми-газа, находящегося при нулевой температуре, причем значения энергии Ферми намного больше массы покоя частиц. Покажите, что уравнения внутреннего строения звезды имеют решение т (г) = Зг/14. Найдите p(r), p(r) и п(г). Покажите также, что, хотя п становится бесконечным при г = 0, число частиц, находящихся внутри сферы любого радиуса, конечно. Постройте диаграмму погружения для 3-поверхности t = Const. Сингулярность какого типа имеет место при г = О?
Задача 16.14. Рассчитайте поверхностные напряжения в статической самогравитирующей оболочке массы M и радиуса R. Какова собственная поверхностная плотность массы? Сравните выражения для поверхностных напряжений с ньютоновским пределом, когда R^M.
Задача 16.15. Каков наименьший возможный собственный радиус самонесущей сферической оболочки массы М, если вещество, из которого она состоит, удовлетворяет условию энергодоминантности (заметим, что этому условию удовлетворяют все известные до настоящего времени виды вещества)?
Задача 16.16. Чему равно красное смещение, испытываемое на бесконечности излучением, распространяющимся в радиальном направлении от тонкой сферической оболочки, находящейся в статическом равновесии, выраженное через поверхностную плотность A0 о и поверхностные напряжения A0 § этой оболочки? Каково будет наибольшее возможное красное смещение, если считать, что выполняется условие энергодоминантности?
Задача 16.17. Покажите, что для жестко вращающейся самогравитирующей звезды, состоящей из идеальной жидкости,
Vp = (P + P)Vln и',
где и* — компонента 4-скорости сплошной среды в канонической координатной системе, выбранной таким образом, что существующие в данной метрике векторы Киллинга суть = d/dt и f (ф) =
S= djdf. ЗАДАЧИ
77
Задача 16.18. Покажите, что в жестко вращающейся само-гравитирующей звезде, состоящей из идеальной жидкости, поверхности постоянных значений р и р совпадают.
Задача 16.19. Покажите, что поверхность жестко вращающейся звезды с точки зрения наблюдателя, находящегося на бесконечности, задается уравнением
gtt + + ?ффй2 = const, где Q-угловая скорость вращения.
Задача 16.20. Найдите доплеровское уширение спектральной линии излучения от жестко вращающейся звезды, наблюдаемое астрономом, расположенным на бесконечности в направлении оси вращения звезды. (Доплеровское уширение определяется вариацией значений доплеровского смещения
Z = -^a--1
^наблюл
вдоль поверхности звезды.)
Задача 16.21. Выведите общерелятивистский критерий конвективной устойчивости статической равновесной конфигурации идеальной жидкости.
Задача 16.22. Докажите, что для жестко вращающейся конфигурации условия изэнтропичности и постоянства энергии ин-жекции [(р + р)/(ям0)] эквивалентны.
Задача 16.23. Рассмотрим стационарную аксиально-симметричную звезду. Соответствующая метрика обладает двумя векторами Киллинга 1(0 и |((Р). Покажите, что
M = - $ {2Т% - б%Т) l\t) ClsZll
есть масса звезды с точки зрения бесконечно удаленного наблюдателя. Здесь ^!3Sli — элемент объема звезды в некоторый момент времени t (временная координата t выбирается таким образом, что I(t) = d/dt). Покажите также, что момент количества движения звезды, измеряемый бесконечно удаленным наблюдателем, можно выразить в виде
