Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
J H7^vW d35V-
Задача 16.24. Покажите, что интегральное выражение для массы M из предыдущей задачи в случае статической сферической звезды, состоящей из идеальной жидкости, имеет вид
R
М = 5(р + Зр)еф+Чяг2^, о 84
ГЛАВА Ij
где Ф и Я —метрические функции в координатах кривизны (g00 = C2^, grr = е2'). Покажите также, что это выражение эквивалентно выражению, получающемуся из уравнений внутреннего строения звезды:
R
Af = $ Р4яг2 dr. о
Задача 16.25. В случае сферической коллапсирующей звезды мы не можем добиться одновременного выполнения трех довольно привлекательных условий: 1) радиальная координата сопутствует некоторому сферическому слою вещества звезды; 2) временная координата является собственным временем для этого вещества; 3) метрический тензор диагонален. Докажите, что метрика может одновременно обладать всеми этими тремя свойствами в том и только в том случае, когда давление равно нулю.
Задача 16.26. Если R — сопутствующая координата, то метрику для сферически-симметричной коллапсирующей звезды (см. задачу 16.25) можно записать в виде
№ = — + dR* +г* (t, R)dQ\
где Ф и Л —функции Rnt. Если звезда состоит из идеальней жидкости, то часто оказывается полезным ввести следующие функции:
R
т ез J 4яг2рг' dR, о
из5Є~фї, р = г2Л(г')8.
Штрихи здесь означают частное дифференцирование по R, а точки— по t. Функция т имеет смысл массы, находящейся внутри оболочки радиуса R, a U — скорость движения оболочки, измеряемая по собственному времени сопутствующего наблюдателя. Докажите следующие соотношения:
а) т = —4itpr?.
[Указание. Воспользуйтесь первым началом термодинамики (задача 5.19), законом сохранения числа барионов, уравнениями движения и соотношением GV= 0 для соответствующей компоненты тензора Эйнштейна (задача 9.20).]
б) r2=l+t/2-2 m/r.
[Указание. Воспользуйтесь соотношениями Gtt- — 8яр и G^ =» 0 (из задачи 9.20).] ЗАДАЧИ
77
Задача 16.27. Для случая коллапсирующей звезды, состоящей из идеальной жидкости, покажите, что как только сферическая массивная оболочка, соответствующая значению сопутствующей радиальной координаты R, сколлапсирует до такой степени, что начнет выполняться неравенство 2т (R, t)/r(R, f)>l» то эта оболочка сколлапсирует до г = 0 за конечное собственное время.
Задача 16.28. Для случая сферически-симметричного коллапса в отсутствие давления покажите, что характер падения на центр некоторой сферической оболочки точно так же зависит от величины массы вещества внутри этой оболочки, как характер радиального падения частицы в шварцшильдовской геометрии зависит от массы центрального источника:
Задача 16.29. Для случая сферически-симметричного коллапса в отсутствие давления (см. задачу 16.26) покажите, что т и Г не зависят от времени. Решите получающееся динамическое уравнение
для трех физически различных случаев: Г2—1 больше, меньше или равно нулю.
Задача 16.30. Рассмотрим гравитационный коллапс сфери-чески-симметричной, состоящей из идеальной жидкости звезды с нулевым давлением и равномерно распределенной плотностью (т. е. распределенной равномерно всюду в звезде с точки зрения наблюдателей, сопутствующих движению вещества).
1) Покажите, что внутренняя метрика в звезде представляет собой локально фридмановское решение с k = + 1, если звезда начинает коллапсировать из состояния покоя при некотором конечном значении радиуса, с ? = 0, если звезда коллапсирует из состояния покоя на бесконечности, и с fe = —1, если вещество звезды обладает на бесконечности конечной скоростью.
2) Из теоремы Биркгофа (см. задачу 16.3) следует, что внешняя метрика представляет собой метрику Шварцшильда. Покажите, что каждая точка поверхности звезды движется вдоль радиальной геодезической шварцшильдовской метрики.
3) Покажите, что на поверхности звезды метрики Фридмана и Шварцшильда гладко сшиваются друг с другом. [Указание. Необходимо и достаточно показать, что внутренняя (3-мерная!) геометрия поверхности звезды и внешняя кривизна этой поверхности будут одинаковы при измерении как изнутри, так и извне авезды.]
d2r/dx2 = — Mjr2. ГЛАВА 17 ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Черной дырой Keppa — Ньюмана называется физический объект, описывающийся точным решением уравнений поля Эйнштейна и обладающий массой, моментом количества движения и, вообще говоря (но не в астрофизических случаях), зарядом.
Описывающая это решение метрика имеет в «координатах Буайе — Линдквиста» следующий вид:
= - (1 - dt* - {W-^^ytdy +
+ *dr> + ZdW+(r* + a>+ sin2w>
где
a2 + Q2sS M2,
M — масса, Q-заряд, а —момент количества движения на единицу массы и
А = г2 —2Mr-)-a2 + Q2, 2 = r2 + a2 cos2 ft.
Метрические коэффициент' не зависят от t и ф, так что |<,> = д/ді и ііф) = <3/дф суть векторы Киллинг ! Одной из характеристик этого решения являются уравнения орбитального движения пробной частицы, непосредственно вытекающие из вида метрики:
2/* =±(Vry>, 2ft = ± (F0)1/',
=-(аЕ-I Jsin* +
Ht = — а (аЕ sin2 ft — L*) + р,
Здесь «точками» обозначены производные по собственному времени или аффинному параметру,
