Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
E Ti RT3
fr* кии ' дин х дни ГЛАВА 10
445
Тогда отношение этого «времени гравитационного затухания» к динамическому характерному времени системы будет порядка
T RTдин / R
Очевидно, что силы реакции гравитационного излучения будут играть существенную роль только в релятивистских компактных системах.
Решение 18.3. Три независимые ориентации диполя соответствуют трем компонентам некоторого трехмерного вектора. Поскольку квадруполю отвечает трехмерный тензор второго ранга (9 компонент), который является симметричным (3 ограничения) и бесследовым (1 ограничение), то для него существует 5 независимых «ориентаций». Примером пяти независимых «квадруполь-ных» тензоров могут служить пять тензоров, у которых все компоненты равны нулю, кроме
/ =-1/ =_1/ =1 1ZZ — 2 — 2 уу —
/ =-1/ =-1/ =1 уу — 2 2 —
1 Xy = I ух, IXZ — IZX, I yz — I zy
Решение 18.4. Предположим, что стержень расположен в плоскости ху и вращается вокруг оси г. Если р —масса на единицу длины стержня, то единственными зависящими от времени компонентами тензора приведенного квадрупольного момента будут
а 2
С ц/3 Ml2
Ixx = P cos2 (cot) •2 I X2 dx = ^lY cos2 (oat) = cos (2со0 + const,
iyy = — ^W cos (2co^ + const •
T - Mt2 . /0 л Ixy = Iyx = '24" Sin (2w^'
так что
Law = i< Ijuljk > = ^ )a<2cos22co?+2sin22coO=Jco«MV4.
(Обратите внимание, что мы используем систему единиц, где G = C=I!)
Чтобы вычислить избыточный заряд на концах стержня, приравняем электростатическую и центробежную силы;
|eV(D j — rmoj«, 446
РЕШЕНИЯ
где Ф — электростатический потенциал, а е и т — соответственно заряд и масса электрона. Тогда по порядку величины плотность заряда, «индуцированного» центробежными силами, будет равна
р^ — У2Ф^ — (т/е) со2.
Разумеется, это обеднение электронами (плотность р отрицательна!) в основной части стержня будет уравновешено избыточными электронами, «приплюснутыми» к концам стержня. Ясно, что их заряд должен быть равен (т/е) со2<М, где Л —площадь поперечного сечения стержня. В результате стержень превращается в электрический квадруполь с моментом порядка (т/е)х XcoVM. Мощность электромагнитного квадрупольного излучения, обусловленного этим «индуцированным» моментом, будет равна по порядку величины квадрату квадрупольного момента, умноженному на со®, т. е. со10(т/е)2Л42. Тогда отношение электромагнитного затухания к гравитационному затуханию есть Lem со" (m/e) VM2 Г (т/е) с^та
T^ ~ coep2j42/e = L-F-J ' В системе единиц, где G = C=I, (m/e)«o0,5• Ю-21, р(10 г/см8)я« я« IO-2* и со (1 кГц)-IO-7, откуда
WW~ IO-18. На сей раз верх одержало гравитационное излучение.
Решение 18.5. Сила реакции излучения, действующая на элемент объема источника, есть
dFi = — <?>tlpd3x.
Скорость, о которой этот элемент объема теряет энергию, равна скорости, с которой силы реакции излучения совершают над ним работу, т. е. vldFi, где v — скорость элемента объема источника. Тогда для всего источника имеем
^ = - J Ф, ,о'р d3x = J Ф (v'p),, d3x.
Здесь мы использовали теорему Гаусса о дивергенции и, чтобы получить второе равенство, оценили значение интеграла по некоторой поверхности, лежащей вне источника. Уравнение непрерывности гласит:
V.(vp) = -dp/dt,
и поэтому
-f --$<*!¦ J*** ГЛАВА 18
44?
Поскольку J/fto/ft = 0, последний член обращается в нуль, и мы получаем
dE/dt =
Найдем среднее по времени от этого выражения для нескольких периодов колебаний. Так как мы предполагаем, что на протяжении этого промежутка времени вековые изменения параметров источника малы, имеем
T T
и
Чтобы найти скорость уменьшения момента количества движения, воспользуемся тем фактом, что для некоторого элемента объема источника тормозящий момент сил реакции излучения есть
г XdF = — г X VOp d9x = jj, а для всего источника
J х'Ф, ftp d3x = — в"» j Xt (j ZFmXm) P dsx =
= -4 8'/?? J XfXmP d*X---4
Усредняя по времени и интегрируя по частям так же, как и выше, получаем
Решение 18.6. Пусть ти т2 и ги гг суть соответственно массы и расстояния от центра масс для двух звезд, обращающихся вокруг центра масс с угловой частотой со. Из ньютоновской механики известно, что
г ^ = ггт% — R\i,
где ^ssr1-Hr2, а р — приведенная масса, равная Hi1Iti2Km1 + т2). Теперь полную энергию двойной системы можно записать в виде функции от M asffZj + ffZjj, р и р,:
r\mi + j гЦ со2 - S** = 1 со V -1^= - іf-
Здесь мы воспользовались также законами Кеплера. 448 решения
Теперь можно рассчитать мощность, рассеиваемую системой в виде гравитационных волн, если вычислить значение приведенного квадрупольного момента
P (xJx* - у d3x.
Обратите внимание, что «приводящий член» Jypr2S^ d3x не
меняется со временем, и поэтому им можно пренебречь. Направим ось Z вдоль оси орбитального обращения, и пусть ф будет азимутальным углом —от оси х до линии, соединяющей обе звезды. Тогда, если не учитывать не зависящие от времени члены, можно записать:
Ixx = (/-JffZ1 -J- r\m2) cos2 ф = у#2р. cos 2ф+const,
Iyy = — у COS 2ф -f- const, Ixy = Iyx-Y^2V1 sin 2<Р
