Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
nav/l~(n0/l)(kT/m)'/., ГЛАВА 10
459
где п0 — плотность числа частиц, a m — масса частицы. Следовательно, внутренняя энергия, поглощенная единицей объема за единицу времени, примерно равна
(О
Интегрируя это соотношение, получаем
P1U (f\ J *»?внутр (t = 0)
с внутр [I) -tB — t-' ' '
где (Z0 ~ (і?/Л2) (m/W)1/*. Таким образом, ?внутр возрастает до бесконечности за конечный промежуток времени Z0. На самом деле, разумеется, этого не происходит: при Z я« Z0, когда газ становится релятивистским, наш «ньютоновский» подход перестает быть применимым.
Фронт волны теряет энергию со скоростью, определяемой уравнением (1). Поскольку плотность ее внутренней энергии порядка toW/G, волна затухает на расстоянии
(oWcS/G
^затух r^j ^затух r^ / \
№ \щкт) - \з/ (оа
I
nokT) /{W*
\ Gmn0,
Значение первого множителя в скобках приближается к единице для релятивистского газа; второй множитель становится равным единице для волны, частота которой равна «гравитационной плазменной частоте» данного газа.
Решение 18.16. Характерная для некоторого физического процесса мощность квадрупольного гравитационного излучения есть
(Gldb) I QI» ~ (GZc5) AI2V4ZT2,
где М, V и T — соответственно масса, скорость и время, характерные для этого процесса. Удобно переписать это выражение в виде
Pg w 1
G / Mv2 у Pi
сТ \ T ) ~ 3-104» эрг/с'
где P ^ Mv2IT — характерная «мощность» потока внутренней энергии.
Для взрыва с энергией E и характерным временем т «внутренний поток мощности» есть EZт. Если предположить, что этот «внутренний поток мощности» связан с достаточно эффективными механизмами гравитационного излучения, тогда в системе единиц, 460
решения
где C = G = 1, имеем1'
Pgw ~ (Effl
и
Egw Pew^ r^ E2/т.
Типичный гравитон, излучаемый при таком взрыве, будет обладать энергией йсо^й/т, так что число таких гравитонов будет порядка
Решение 18.17. В данном случае движениями масс, порождающими гравитационные волны, являются соударения электронов с узлами решетки, рассеяние фотонов и т. п. Поскольку тепловые скорости электронов намного превосходят их дрейфовые скорости, характерная энергия одного соударения равна пс порядку величины kT. В соответствии с результатами анализа, проведенного в предыдущей задаче, мощность гравитационного излучения, генерируемого одним электроном, должна быть величиной порядка (kTffl, где т — среднее значение временного интервала между соударениями электрона с решеткой. Тогда полная энергия, излучаемая в виде гравитационных волн на протяжении номинального срока службы лампочки, должна быть равна
Eew^ N [^pfTd(ІО®» эрг/с),
где N — число электронов проводимости в нити накала, а Tl — номинальное «время жизни» лампочки, составляющее приблизительно 4 • 10е с.
Частота типичного излучаемого гравитона должна быть равна примерно г-1, так что полное число таких гравитонов по порядку величины есть
Eewt N (kT)*TL nr^ ft ~ Tft 105»эрг/с'
Для электрической лампочки накаливания kT должно быть порядка 1 эВ, так как тепловое излучение приходится главным образом на видимый диапазон спектра, а примерные значения N ит составляют соответственно IO17 электронов и 10~13 с. Подставляя эти значения, получаем, что полное число гравитонов, излученных за время номинального срока службы лампочки, порядка Ю-19.
Чтобы оценить число гравитонов, испускаемых разбивающейся лампочкой, мы предположим, что энергия падающей лампочки
1' Напомним, что в геометрических единицах мощность — величина безразмерная, — Прим. перев. ГЛАВА 10
461
преобразуется в кинетическую энергию сотрясения, а затем вычислим результирующую мощность генерации гравитационных волн по формуле, приведенной в задаче 18.16. Если лампочка весит 20 г и падает с высоты 1 м, то приобретенная ею энергия составляет около IO6 эрг. Предположим, что характерное время сотрясения составляет 0,1 с, так что в процессе сотрясения выделяется полная мощность IO7 эрг/с. Если 10% этой величины связано с механизмом квадрупольных колебаний, то
Por- OgffiL эрг/0
и
Eaw ~ Pew -0,1 с я« Ю-48 эрг.
Тогда число гравитонов с энергией Йсо~ ft/0,1 с~ Ю-26 эрг будет порядка Ю-22.
Решение 18.18. С точностью до первого члена линеаризованного приближения по гравитационному полю гамильтониан взаимодействия поля с системой, обладающей тензором энергии-импульса Tliv, есть
H = (SnG)1^TlivAliv. (1)
Мы будем использовать систему единиц, где с = Й = 1, так что G'/a = 1,616-10~33. Для электрона в атоме водорода
Tltv = ZneW11Mv = A; (2)
Tflg
далее, поскольку мы работаем с Ziliv в поперечно-бесследовой калибровке,
Zi011 = O, А'/, = 0 (3)
и, следовательно,
H = {8л0у/,-EiP^L. (4)
TTle
Так как гравитон обладает спином 2, распад обязан происходить в s-состояние. Матричный элемент для перехода из 3o[-cocto-яния в 1 s-состояние с испусканием гравитона с волновым вектором ~к и поляризацией X (для право-циркулярной поляризации Я=1, а для лево-циркуляр ной поляризации Я = —1) есть
T = <ls; X Ь\Н\М', 0). (5)
