Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
6M = -?-6y, (4)
откуда следует
(2AM-J~)m^0. (Б)
Для случая усиления волны закон сохранения энергии требует, чтобы масса дыры уменьшалась, т. е. 6М<0; следовательно, второй член в скобках в неравенстве (5) должен быть отрицательным. Это условие можно переписать в виде
(в)
где г+ — координатный радиус горизонта событий. Если учесть, что т. и щ могут иметь любой знак, условие переписывается окончательно в виде ГЛАВА 10
435
где ^означает «расположено между». Обратите внимание, что a/2Mr+ есть как раз Q — «угловая скорость черной дыры» (см. задачу 17.10).
Решение 17.16<
а) Используя результат задачи 7.7 и соотношение
(— g)4* = (г2 + а2 COS2 ft) sin ft,
запишем
Р)
б) Пусть в уравнении (1) зависимость от t и ф имеет вид
г, ft, ф) = e'iateim'9R (г) S (ft).
Поделив обе части уравнения (1) на Ф, получим
l_A(AdR\, а (г2+ а2)8 4 Maratn a2m2 _ R drydrj'® Д Д + Д ~~
-sib Usin^) + a^ sin2 <2)
Поскольку левая часть (2) есть функция только от г, а правая часть —только от ft, каждая из них должна быть равна некоторой постоянной А. Следовательно,
-ШЪ і (sin * S) - И*2 sin2 ^ + - л)s - 0 <3>
и
d ^riRj I р {гг+а2)2 - AMamm + aW ^„р до
Так как функция S должна быть регулярной при ft== 0 и ft = я, уравнение (3) представляет собой уравнение для собственных значений А. Фактически функция S есть функция типа сферической гармоники; в простейшем случае, когда aw = 0, мы имеем S = = Pfm (COS ft) И A = t(t+\).
в) Удобно (но не обязательно) ввести «черепашью» координату г*, удовлетворяющую соотношению
dr*/dr = (г2+ а2)/ А.
Причина этого названия ясна из того факта, что интервал (г+, оо) в координатах г растягивается до (—оо, оо) в коорди- 436
РЕШЕНИЯ
натах г*. Тогда уравнение (4) приобретает вид
(PR 2гЛ dR Г а . ^mi-AMarma-AA 1 р _ а /к\ dr*2 "т" (r* + a*)*dr* Lw-T (л2+a2)2 J * '
При г-*-оо получаем приближенное уравнение
d*R .2 dR „r> п
решение которого
соответствует ВХОДЯЩИМ И выходящим волнам, г) При Д->0 из уравнения (5) получаем
dr* а
и, следовательно, где
Ci2A , Г s 2amco , а2т2 "] n ,
Iю ш^ + СгЖ^]^ = '
ю+ ее а/2 Mr+.
д) Поскольку все физические наблюдатели на горизонте связаны друг с другом преобразованиями Лоренца, все они придут к единодушному заключению, представляет ли некоторое частное решение входящие или выходящие волны. Поэтому мы можем вести все вычисления для любого удобного для нас наблюдателя. Выберем некоторого наблюдателя с постоянным г, расположенного в самой непосредственной близости к горизонту, но вне его. Поскольку такой наблюдатель находится внутри эргосферы, он будет увлекаться в движение вокруг центра в положительном направлении по углу <р с угловой скоростью
Q = d<p/dt>0,
где Q = CO4. (см. задачу 17.10). Для такого наблюдателя локальная зависимость от t и г решения
Ф = е-Ше1туе± і ((o-mco+) (ft) (6)
имеет ВИД
ф _ e-i (co-mo+) t e± і (<a-mto+) r* eim<p$ (ft) ^
где МЫ ПОЛОЖИЛИ Ф = ф — (u+t. Следовательно, е-< (м-то>+),-» соответствует входящим волнам.
е) Тензор энергии-импульса скалярного поля имеет вид
AnTafi = Ф, (аФ* „) - У ga? IФ, уф- У |. (Операция комплексного сопряжения необходима, поскольку Ф ГЛАВА 10
437
представлено в комплексном виде.) Вектор потока энергии есть
где g — временной вектор Киллинга д/ді (см. задачу 10.11). Поток энергии, проникающей в горизонт, находится путем интегрирования радиальной компоненты J по 2-поверхности г = г+:
f = JniSl1''Лр.
Поскольку
4я Т{ = Re (Ф,, Ф*.') = Re (Ф, ;ф*. ,. ^p-2) = = ffl(ffl-mo)+) S2(ft)A,
Ij
имеем
^ = (О (со - тш+) ^ J S2 (ft) sin ft dft dq>;
величина dE/dt отрицательна, т. е. энергия выходит из-под горизонта наружу в том случае, если © — т©+<0, иначе говоря, если 0 < со/т < со+, что находится в полном согласии с результатом задачи 17.15.
Решение 17.17. Предположим, что в дыру введены заряд 6Q и энергия 6Е. Тогда имеем
б (Q2 - M2) = 2Q6Q - 2МЬЕ. (1)
Однако не все значения 8Q и OE являются допустимыми. Радиальный «эффективный потенциал» для падающей заряженной частицы в метрике Рейсснера — Нордстрема (см. [1], уравнение 33.32) определяется уравнением
r*% = - <(r2OB - QWr)* - A (^r2 + Ll + (2)
где Е, Lz и ^ — сохраняющиеся величины, а fx0 — масса покоя частицы. Для частицы, пересекающей при падении в черную дыру горизонт событий, dr/dx^ 0 на горизонте при г = г+. Так как A = O при г = г+, уравнение (2) принимает вид
rag=-(r°6?-Q6Qr+)<0 (3)
и, следовательно, OE>Q6Q/r+. Учитывая уравнение (1), имеем 6 (Q2 - M2) <26 E (г+ — М) = 26 E (M2 - QT'. (4)
При Q2 -у M2 правая часть стремится к нулю как квадратный корень из (M2-Q2), так что никакими последующими добавлениями 6E нельзя сделать интеграл от левой части положительным. 438
РЕШЕНИЯ
Решение 17.18.
а) gtt - ^gm [v. а?, і gtt - co2gTO с/, а?=
= — (g« - W2
(Мы выбрали знак минус, потому что gtt — ю2?фф<0.) В метрике Keppa единственным недиагональным членом является gt<f. Построив матрицу, обратную найдем
