Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 18.20. В почти инерциальной системе координат, начало которой помещено в центр масс, влияние тензора Римана, как следует из уравнения расхождения геодезических, сводится к ускорению свободных пробных частиц таким образом, что
TftT — PjOkdXk.
Мы опустили здесь зависящие от скорости члены типа «магнитного поля», меньшие по величине в c/v раз (см. решение задачи 18.14). Из этого уравнения видно, что тензор Римана приводит к появлению продольных эффектов в том и только в том случае, если один из пространственных индексов в Rjm есть г (направ- 466
РЕШЕНИЯ
ление распространения волны). Отсюда следует, что Til T3, vF3 обладают продольными эффектами, a vF4, 1F4 и Ф22 являются чисТо поперечными.
Чтобы исследовать спин волн, выполним преобразование от координат X, у к координатам х', у', повернутым относительно оси Z в положительном направлении на угол ф. При этом компоненты тензора Римана преобразовываются следующим образом:
Rx'u'z'O' — Rxozo C0S Ф + Ryozo sin ф,
Rx'o'x'o' = Rxoxo COS2 ф + Ry0y0 Sin2 ф + 2 sin ф COS ф Rxoyo
и т. п. Из вида преобразования компонент тензора Римана легко получить законы преобразования для определенных в нашей задаче типов волн:
v^V —--g" Rz'o'z'o' — g" Rzozo ~
Y3- = ^Y3,
Y4, = ^2-W4, ?у = е-2'>?4, Ф2^ = Ф22.
Поскольку T2 и Ф22 не меняются при поворотах относительно оси г, эти волны являются скалярными (спин 0). Для Y3 и Y3 поворот на 180° возвращает волну в прежнее состояние поляризации (например, чисто действительное), так что этим символам должны соответствовать волны со спином 1. Чтобы возвратить волны Y4 и Y4 в прежнее состояние поляризации, необходимо повернуть их всего лишь на 90°, отсюда следует, что этим волнам соответствует спин 2. Фактически все рассматриваемые нами типы волн соответствуют в общей теории относительности волнам, поляризованным по кругу.
Решение 18.21. На фиг. 33 изображены шесть типов поляризации слабых, плоских, распространяющихся в пустоте гравитационных волн, допустимых в классе метрических теорий тяготения. Там же представим смещение, которое каждый тип волн вызывает в сфере пробных частиц. Волна распространяется в положительном направлении оси +г (что показано стрелкой в правом верхнем углу графиков) и обладает зависимостью от времени вида coscoZ. Сплошные линии соответствуют моменту времени ш/ = 0, пунктирные линии —моменту at = я; смещения, перпендикулярные к плоскости фигуры, отсутствуют. Все приведенные схематические изображения получены с помощью уравнения расхождения геодезических
ciixlt тк
Л 0/0- ГЛАВА 10
467
в г
Фиг. 33. 468
РЕШЕНИЯ
Решение 18.22. Вид функции H определяется уравнениями поля в пустоте
Я«э = 0.
Мы вычислим вначале символы Кристоффеля из лагранжиана для геодезических (см. задачу 7.25):
L = x2 + y2-uv + 2Hu2.
Из уравнения Эйлера — Лагранжа
_d_ ldL_ \ _ OL _ Q ds \ дх J дх ~~
находим
x-\-HtX й2 = О,
откуда
Г* = H
1 UU-",X-
Аналогично из
у + Н,уй2 = О
следует
г yUU = H,у,
а из и = 0 вытекает
Г"аР = 0.
Из
v-2H,au2-4H,xxu-4HJu = 0
получаем
г« =_VH-Tv =_2H • P0 =з_9/7
1 ии— ^11fUy 1 хи— ^11lXi уа— ^'',у
Все остальные коэффициенты связности равны нулю. Таким образом, в выражение для тензора Риччи (см. [1], уравнение 8.516)
Rafi = - (In V^gUfi + On V^g).^ - г"\,рг%
вклад дает только первый член (обратите внимание, что]/—g = = 1). В результате находим, что единственная не равная нулю компонента Rafi есть
Ruu — H ,XX +Я
,уу
Следовательно, уравнениям поля будет удовлетворять любая функция, гармоническая по х и у. Для плоской волны функция H квадратична по х и у, так что (покажите это в качестве упражнения!) тензор Римана есть функция только от и и не обладает особенностями на плоскости ху. ГЛАВА |8
Решение 19.1. Рассматриваемые в задаче ньютоновские уравнения имеют вид
Va<D = 4rcGp (уравнение для гравитационного потенциала), (1) dp/dt + V • (ри) = 0 (уравнение непрерывности), (2)
+ (и • V)u = —у- — V(J) (уравнение движения). (3)
Если Вселенная статична и однородна, то » = 0, ари р постоянны во времени и пространстве. Тогда решение уравнения (1) есть
Ф = ~nGp{7-7) + C- г + К,
где С и К — произвольные постоянные интегрирования, а ~г — радиус-вектор, проведенный из произвольно выбранного начала координат. Левая часть уравнения (2) равна нулю тождественно. Однако уравнение (3) не удовлетворяется: левая его часть равна нулю в силу того, что v = 0, а в правой части Vp равно нулю из-за условия однородности, но УФ не может быть тождественно обращено в нуль никаким выбором С и /С. Следовательно, данная система уравнений не имеет решений, обладающих требуемыми свойствами.
Решение 19.2. Поскольку пространство-время является всюду изотропным, оно, в частности, сферически-симметрично относительно некоторого несингулярного наблюдателя. Но по теореме Биркгофа (задача 16.3) единственным сферически-симметричным вакуумным решением является метрика Шварцшильда, а единственным случаем, когда метрика этого типа регулярна в начале координат — где и находится наш наблюдатель,— является случай M = 0, т. е. плоское пространство Минковского.
