Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
= (Ы°)2 (goo + 2?g(xp + Q2?qpq>) (1)
и, следовательно,
= (-goo- 2Й?оф - Wgw)-где в плоскости O = я/2
- goo = 1 - 2Mlr, - gov = 2Ma/r, -gw = — (Г3 + а2г + 2Mai)/г. Остальные компоненты легко найти, выразив их через и0:
u<f = Qu0, "о = SrOO"0 + = (goo + Qg09),
"ч> = gov"0 + g IftfWf = и0 (g0(f + Qgw).
б) Из уравнения (1) имеем
у т goo + 2Q0qp + Qtgw < 0. (2) ГЛАВА 10
429
Наблюдатель может быть координатно-покоящимся (Q = 0) только там, где goo •< 0, т. е. в экваториальной плоскости только при г>г0 = 2М.
в) Дискриминант квадратного трехчлена Y в неравенстве (2) есть
(gov)2-googqxp = r2-2Mr + a2 = (r-г+) (г - г_).
Он отрицателен в области г_<г<г+. Если дискриминант Y отрицателен, то Y имеет один и тот же знак для любых Q, т. е. тот же знак, что и gw. Поскольку величина положительна, это нарушает неравенство (2), которое предполагает наличие только времениподобных движений и постоянство г. Следовательно, наблюдатель не может оставаться покоящимся при постоянном значении г. Обратите внимание, что при г -»-r+ Q стремится к
— ?оф/?оо=»я/2Л1г+.
Решение 17.9. Сохраняющаяся энергия частицы есть скалярное произведение 4-импульса на временнбй вектор Киллинга
я—P-(J)--* w
Метрика Keppa имеет вид
ds2 =¦ — e2v dt2 + е2ф (dtp - o dt)2+є2»' dr2 -f e2^ dft2. (2) Контравариантные компоненты равны
g11 = — e-2v, gt<f '= — (oe-2v, gw=er2** — co2e-2v, grr ^e-Hxa> JMerJHi,
Если масса частицы есть ц, то
_ ^ в р. р = _ e-2vp? _ er^ptp^ +
+ (*-*-«%> ^+в^р'+е^рі. (4)
Решая квадратное уравнение (4) относительно pt=*E, получаем E = юрф + [е2^р\+є* (е-^рї+<г^рЬ+ц2)]1/'. (5)
Знак перед квадратным корнем в выражении (б) положителен, так что для частицы, покоящейся на бесконечности, ? = + р.. Если E должно быть отрицательным, то нам необходимо выбрать рф со знаком минус и потребовать выполнения неравенства
[e2v-*H+e2v (<r«V +e-**pb + и2)]'/. < - юрф. (6)
Мы можем найти границу области отрицательных энергий Е, если положим Pr = Po = O и устремим к нулю р (т. е. будем рассматривать ультрарелятивистские частицы). Это даст нам условие
02V-2* < Ю2( 430
РЕШЕНИЯ
эквивалентное
g«>0.
Другими словами, орбиты таких частиц должны находиться внутри эргосферы. (Этот результат следует также из задачи 10.15.)
Когда с борта космического корабля выпускается снаряд, из закона сохранения 4-импульса имеем
P до = Рпосле + Рснаряда • (7)
Умножая скалярно иа временной вектор Киллинга, получаем
Ядо = Япо.ле + ?с„аряда. (®)
Поскольку космический корабль может войти в эргосферу из бесконечности, имеем Еяо > р. Внутри эргосферы он может выпустить снаряд с достаточно большой скоростью (с отрицательным значением рф), так что ?Снаряда<0. Тогда из уравнения (7) следует
^после В до ,
и корабль отправляется на бесконечность с возросшей полной энергией. Обратите внимание, что, поскольку и траектория космического корабля, и траектория обладающего отрицательной энергией снаряда времениподобны, снаряд можно выпустить с борта корабля с (локально измеренной) скоростью, меньшей с.
Решение 17.10. В задаче 17.8 мы видели, что при приближении к горизонту Я->а/2Мг+, когда ft = я/2. Чтобы доказать справедливость этого предельного соотношения для любых ft, запишем (в обозначениях задачи 17.9)
п рч> gWPv+g^Pt av е-21"??
5,2 = —j = —--:— = W — е ¦
П1
P ^Pt + gV'pq, Pt + ®Pq>
При Д = 0 (т. е. на горизонте) метрическая функция остается конечной, но ^av обращается в нуль, так что Q = со, и при A = O имеем
— g<ft а
©=- = о jijf '
?фф 2 Mr+
Решение 17.11. Запишем сначала г- и ft — компоненты уравнений орбитального движения в геометрии Keppa [см., например, [1], уравнение (33.32)]:
(гв+a* cos ft) dr/dt = ± V1Jit (1)
(г2+a" cos ft) dft/dt =»± Vili, (2) ГЛАВА 10
431
ГДв
Vr -1E (г2+а2) — La]2 — А [г2+(L- аЕ)2 + Q], (3)
Vo - Q - cos2 ft [а2 (1 - E2) +L2Ism2 0], (4)
А<зЕГ2-2Мг+а2,
а Е, L и Q- интегралы движения. Чтобы орбита проходила через 1O1 = O и ft = я, потенциал Vo должен быть положительным как при ft = 0, так и при ft = я. Согласно уравнению (4), из этого условия следует
L = 0 и Q>a2(l — Б2). Тогда уравнение (3) принимает вид
Vr = E2(r2+a2)2-b[r2+a2 + Il (5)
где
/ si Q — а2 (1 — E2) >• 0.
Условия, необходимые для того, чтобы орбита характеризовалась постоянным значением радиальной координаты г, суть Vr = O и 4Vr/dr**0 (условие локального экстремума и условие бесконечного сохранения экстремума). Условие, налагаемое на производную, дает
О - 2Е2г (г2+а2) - (г-M) E2 (г2 + а»)8/ А - гД, (0)
где для исключения интеграла движения / мы воспользовались условием Vr = O и уравнением (5). Этот результат можно переписать в виде
E2 = г A2 [(г2+а2) (г»- ZMr2+a2r + а2М)]~К (7)
Для очень больших значений г получаем
т. е. не что иное, как ньютоновскую энергию связи для круговой орбиты. При уменьшении г изменения E описываются уравнением (7). Очевидно, что, поскольку числитель неотрицателен, то решение уравнения (7) перестает существовать в единственном случае —когда знаменатель обращается в нуль (обращение знаменателя в бесконечность вне горизонта невозможно). Следовательно, полярные круговые орбиты существуют вплоть до минимального радиуса г, определяемого из уравнения
