Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку ф = cot, мы можем прямо продифференцировать трижды по времени эти выражения, а затем взять сумму ijki/k и усреднить ее по времени. В результате будем иметь
~ (Ijkifk) = j (2со)в (у R2nJ (sin2 2<ot + sin2 2сot + 2 cos2 2сot) = = Ico
Поскольку эта мощность излучается за счет уменьшения энергии орбитального движения, получаем
dE _ \_vM_dR^ _ _ р _ 32МЗц* dt ~ 2 R2 dt ~ ^OW- 5 ^ •
Результирующее дифференциальное уравнение
легко интегрируется и приводит к решению Ri = - (256/5) M2Iit + const.
Если обозначить через t0 время, через которое расстояние между звездами уменьшится до нуля в согласии с данной формулой, то получим
^ = Y-M2P(Z0-Z). Глава is
449
Время t0 можно найти, если заметить, что при t = 0 расстояние R равно некоторому начальному значению Ra8l4. Следовательно,
fO — 256М2|л •
Решение 18.7. Значения большой полуоси и эксцентриситета орбиты, выраженные через полную энергию орбитального движе-
Фиг. 32.
ния E и момент количества движения L, суть
O = -IUtITi1^E, (1)
„2_1 I ZELHm1 + та)
е ЩіїГ* ' w
откуда
da _mLm.2 dE ^
dt 2E» dt de dt
Если расстояние между двумя частицами (см. фиг. 32) есть г, причем
_ а (1-е2) ,,,
Тогда
__ т2 _ От]
Гх ~ mt + m3 ' Гг ~ ml + mi '
16 Заказ IlO 450
РЕШЕНИЯ
так что компоненты тензора квадрупольного момента имеют вид Ixx = щА + т2х\ = Г2 cos2 ^
/ г Г Л. Г — г2
ХХ' УУ Zn1 + /Tl2 '
Согласно ньютоновским уравнениям движения,
ft = [(«1 + та)а(1-е2)]'/г ^ ^
поэтому из уравнения (5) следует f = esinft
¦яН+щЛЧ»
а (1 — е2) J '
(8)
Вычислим теперь последовательные производные по времени от
Uj, используя для упрощения получающихся выражений уравнения (5), (7) и (8). Будем иметь
j _ —2mt/n2r cos О sin ft
hx = ^?-; (cos 2ft -)- е cos3 ft), (10)
7^ = HfrSj(2sin2d+3ecos2dsind)d- (11)
і У»=*--ir r (sin ft cos ft+e sin ft), (12)
і yy = ^rSj (cos 2^ + Є COS ft + e COS3 ft+e\ (13)
7 yy = ^?)2 (2sin 2ft + e sin ft + 3e cos2 ft sin ft) ft, (14)
j mitn2r (cos2 ft — sin2ft -f e cos ft) . j ~
ХУ=3 [(OTj + m^aCl-e2)]'^ ' (
Ixy = =^zgj (sin 2ft + e sin ft +e sin ft COS2 ft), (16)
7xy = (2cos 2ft - ecos ft + 3eCOS3 ft) ft, (17)
Y 7 I 7 —2mlm2e sinftft /1Q.
i='xx+lyy—-a(l—e»)-' I0' ГЛАВА 10
451
Тогда скорость потери энергии равна
W = = І'
= -4(/1, + 2/!,+ Цу-\ 72) =
= 15^(7-^ [12 (I cos ft)2 + <>¦ sin2 ft]
Здесь мы воспользовались соотношениями (9)-(18) и обычными алгебраическими упрощениями. Теперь необходимо усреднить полученный результат по периоду одного обращения по орбите. Согласно третьему закону Кеплера, этот период равен
2Я
2 nah
откуда
J в (m1 + m2)I/a
о
Г 2я
_ I f ^ л _ L С
dtj- 'T J dtM~T }
dE I
о
—32 ms.ml (m, + /n,) /. 73 37 \
=--^^^(1+3^+1^)- (19)
Аналогично скорость потери момента количества движения есть 2 ..... 2 ..... 2 •• ••• •••
5 г*чЪь 2 к] = — "5 Єг;у/ ift / kj = — -5 [/jq, ( / да ~ / .**)+
+ IxyO'*-Iyy)]"- 4 д. "-!»)» (4 + 1 Oe cos ft+e2 (9cos2ft — - l)+e3 (3cos3 ft - cos ft)] ft. Усредняя по времени, получаем
2л
di^ 1 C dL 1^ft- 32 ItilmKm1 +т^у/й /. 7 \
= TrJrfTe 5 я'/.(1 \ IT /* (20)
dt I — т д & Ъ" o a'/s (1
0
Наконец, подставляя полученные выражения в уравнения (3) и (4), будем окончательно иметь
(?)
_2*_tdE\__64 mLm2(mt+m2) /, , 73 „а , 37 „4\ _п
mim^dtj— 5 а*(\-е*)7'a I *"24е "т~96е
de\ _ mi + m2 Га (1-е2) ldE\ _ — IdLU =
dt J тгт2е [mi + m2 \dt j аЧі(ті + щ)Чі \dtj\ = 304 Ot1Ot2 (Ot1-I-Ot2) g 11 і 121 „а \ -~15 a4(i_e8)Vi H +304е J' (22)
Из уравнения (22) видно, что производная del dt отрицательна, т. е. реакция излучения приводит к уменьшению эксцентриситета. 15* 452
решения
Если в уравнение (21) подставить е = 0, мы вновь придем к результату задачи 18.6. (О способах интегрирования уравнений (21) и (22) в случае ефО см. статью Питерса [Peters Р. С., Phys. Rev., 136, 1224 (1964)].)
Решение 18.8. Для рассматриваемой волны тензор Риччи должен быть равен нулю. Тогда, свертывая результат задачи 13.13, будем иметь
О = 2 Rliv = Aalljav AiJiv.
Поскольку возмущения суть функции только от u = t — x, автоматически обращаются в нуль третий член в даламбертиане QAliv и компоненты R22, R23 и R33. Для р, v = 0, 2 находим
? (A02-A12J = O.
Отсюда следует, что W2 = H12. (Постоянные интегрирования в данном случае несущественны: это не функции типа «распространяющейся волны»; они не переносят энергии, и так как они не дают вклада в тензор Римана, то их можно устранить с помощью калибровочного преобразования.) Аналогично имеем
Zi03 = Zi18 из уравнения для р,, V = 0,3, Zi00 — A10 = у А из уравнения для р, v = 0,0, A2f+A33 = O из уравнения для р,, V= 1,0.
Другие комбинации р, v не дают новых независимых соотношений.
Наличие этих четырех ограничений оставляет только шесть независимых компонент Aap. Далее калибровочное преобразование вида Ipit-х) приводит к компонентам Ziap, являющимся функциями только от (t — x), и, следовательно, оставляет в силе приведенные выше четыре ограничения. Поэтому мы выберем калибровочное преобразование именно указанного вида, причем такое, которое обратило бы в нуль компоненты Zj00, A11, Zi02 и Zi08 и оставило бы лишь компоненты Zi23 = Zi32 и Zi22-A33, инвариантные относительно него. Явный вид такого калибровочного преобразования есть и и
