Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы зиаем также (например, из картины коллапса Эддингтона — Финкелынтейна или Крускала), что знак dr/dr должен быть отрицательным для «направленного в будущее» (т. е. физического) наблюдателя, откуда имеем
(Ж
и
= [/¦'/. (2M - гУ> + M arc cos - 1 = яМ.
Решение 17.4. Мы рассмотрим случай керровской черной дыры, а затем получим шварцшильдовский случай, полагая а = 0. Метрика Keppa (в обычных координатах Буайе — Линдквиста) имеет вид
ds* = _ (і _ Щ dt2 _ (шаг -*?*) dtdy +1 dr2 +
+ Sdft2 + (г2+ а2 + 2/Wa2 ^p-) sin2 ft^p2, (1)
где
k = r2-2Mr + a2, 2^'2+a2 cos2 ft.
Уравнение геодезических есть
dV/dT2 + r%«V = 0, (2)
но первый член обращается в нуль, поскольку «' и «ф —единственные неисчезающие компоненты U — ЯВЛЯЮТСЯ ПОСТОЯННЫМИ. Компоненту г уравнения (2) можно записать в виде
О = rra?«a«P = (Trttdti + 2Trtydtdy + Г^фЖр2) (dr)-2. (3)
Так как метрические коэффициенты зависят только от г и ft, необходимые нам символы Кристоффеля в экваториальной плоскости ft = я/2 суть
Trtt = —-j gtt, г = М/г2,
2ГГ/Ф = — gtrp. г = — 2Ма/г%, (4)
г -Irr _ Ma*
I rtptp — 2 gqxf, г — ^t ' • 426
РЕШЕНИЯ
Учитывая, что Q sadqj/d/, из уравнений (3) и (4) получаем
О+ (5)
Два корня этого квадратного уравнения (соответствующие прямой и обратной орбитам) равны
Q == М1'Ч{± г'Л + аМ4'). (6)
Для а = 0 получаем уравнение Q2==M//-3, которое (по случайному совпадению, обусловленному выбором координат) в точности соответствует закону Кеплера в ньютоновской теории тяготения.
Решение 17.5. Метрика Рейсснера — Нордстрема имеет вид ds2 = — Adti + А~Чг2 + г2 (dft2 + sin2 ftdq>«),
где A за 1 — 2M/r + Ql/r2. Найдем вначале кеплеровскую частоту обращения для круговых орбит Q =з dq>/dt (точно так же, как в задаче 17.4). В нашем случае имеем
„ 1 M CP
і rtt = —~gtti r = — _,
2ГГ/Ф =s — gtVt r =и 0,
Г/-фф =* % ?ФФ. r ~ — r<
откуда получаем квадратное уравнение для Q;
Частота орбитального обращения равна
Собственная скорость движущегося по орбите наблюдателя по отношению к координатно-покоящемуся наблюдателю есть
У— _ rd(f _ / Mr-Q*
/ Mr-Qt у.
4 AtIicIt \r*—2Mr+Q».
(«Шляпками» обозначены ортонормированные компоненты в покоящейся еистеме отсчета.) В покоящейся системе локально измеряемая напряженность электромагнитного поля обладает только одной компонентой:
F-Q tz± = -?-.
Г гг
Применяя преобразование Лоренца и учитывая обычные соотно-щения для электрического и магнитного полей, получаем, что Глава і7
42?
в системе отсчета, связанной с наблюдателем на орбите, все компоненты напряженности полей будут равны нулю, за исключением
= П _ QstQ ( r>-2Mr + Q> у/,
B«=a-fa-ieQ = Qf Mr-Qi Y'
"в и> г2 г2 \r*-3Mr + 2Q*j
Решение 17.6. Удельный момент количества движения а и заряд е черной дыры Keppa — Ньюмана с массой M не могут быть произвольно большими: они должны удовлетворять неравенству
о)
(здесь мы для ясности включили фундаментальные константы G и с). Неравенство (1) следует из условия существования горизонта, расположенного от центра на расстоянии
гн = М + (М2-е2-а2)2.
Если неравенство (1) нарушается, мы имеем дело с «голой сингулярностью», которая к тому же оказывается акаузальной. Из эксперимента мы знаем, что спин, заряд и масса электрона таковы, что член с а8 в неравенстве (1) имеет порядок IO"22 см2, член с е2 — порядок Ю-68 см2, а член с т2 — порядок Ю-110 см2. Таким образом, неравенство довольно глубоко нарушается и электрон — это не черная дыра.
Решение 17.7. Поскольку у нас имеется три соотношения между компонентами 4-импульса
рр = — т2, Pt = B, Pv = Lt
уравнения орбиты можно свести к виду
(dr/dX)2 = V(E, L, г),
где Я —аффинный параметр, a F-некоторый эффективный потенциал. Условие того, что орбита является круговой, есть равенство нулю dr/dk, т. е.
V(E,L,r) = 0, (1)
V'(E,L,r) = 0, (2)
где V' =dV/dr. По теореме существования неявной функции систему уравнений (1) и (2) можно разрешить относительно
E = E(r), L = L(r), 428
РЕШЕНИЯ
при условии, ЧТО
дУ дУ
дЕ dL
дУ дУ
дЕ dL
Ф о. (3)
(Это условие в данном случае выполнено.) Тогда dE/dr и dL/dr можно найти" с помощью дифференцирования уравнений (1) и (2):
о-iL-+ ^L4-V (4)
dr - дЕ dr T- dL dr ^y • W
n dV' dV' dE dV' dL , л/и
Рассмотрим теперь некоторую орбиту с г = г0 и внесем возмущение таким образом, чтобы г = г0 + е. Уравнение возмущенной орбиты есть
(dr/dl)* = V (re) + гУ (г0) + і e2V" (г0) +...,
где V (г0) = 0 и V (г0) = 0 (условие для невозмущенной круговой орбиты). Тогда устойчивость зависит от V": если орбита устойчива, то потенциал V" должен быть отрицательным. Для случая краевой устойчивости мы в дополнение к V=O и V = O имеем условие V = 0, так что единственным решением уравнений (4) и (5) будет dE/dr = 0 и dL/dr = 0. Из физических соображений ясно, что эти экстремумы суть минимумы.
Решение 17.8.
а) Из соотношений и • и = — 1 и Q== Utf/и0 имеем
- 1 = goo (и0)2 + 2 g O4lU0Uv + gm (Utf)2 =
