Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
(AN) = (чйсло дополнительных квантов) х X(вероятность испускания этого числа)= 1 х(JV +1) р.
Параметр усиления есть 442
РЕШЕНИЯ
В классическом пределе (N ->• со) имеем A ^ р. Сформулированное Ферми «золотое правило квантовой механики» гласит, что интенсивность спонтанного излучения определяется формулой
dN V /оч
-jr r^j .J р. (2)
dt Фазовое v
пространство
Заменим в уравнении (2) р на А и вспомним, что на «классическом» языке этот эффект описывается в терминах «мод» с «квантовыми числами» t и т, а также частоты со. Следовательно,
Л т
Как и во всех задачах о «просачивании» через потенциальный барьер, А резко спадает до нуля для больших значений і ъ. т. Точно так же обстоит дело и в задачах 17.15 и 17.16: А неравно нулю для со~1 /М в области Дсо~1/М, где М —масса черной дыры. Поскольку для малых значений / и т параметр усиления А порядка единицы, заменим в уравнении (3) А на 1 и снимем знак суммирования. Тогда
dN . 1
1Г~ А<°~лГ
Черная дыра будет терять энергию (процесс «квантового испарения» черных дыр!) со скоростью
dE a, dN п
Отсюда получаем, что скорость потери момента количества движения есть
dJ т dE Л
Следовательно, Постоянная времени для потери момента количества движения равна
J/(dJ/dt)~M2(h/M)~Ms/h~(M/IOib г)3 IO10 лет.
Tofд& для Л4 < 1016 г момент количества движения У уже должен был бы практически обратиться в нуль за счет процесса «квантового испарения». Для Л4 IO33 г доля потерянного за IO10 лет момента количества движения составляет я» IO-84.
Решение l7t2L Для всех статических метрик пространства-времени «поверхность бесконечного красного смещения» (g00 = 0) совпадает с горизонтом (см. задачу 17.12). Следовательно, если рассматриваемая метрика описывает черную дыру, то местополо- ГЛАВА 10
443
жение поверхности этой дыры должно даваться соотношением Soo = O или, в данном случае, P = 1I2, где psp/m, Теперь мы покажем, что на самом деле поверхность р = 1Z2 не содержится в том многообразии, которое является асимптотически плоским при р->оо и, следовательно, не может быть достигнута ни одним из объектов нашей Вселенной.
Из вида метрического коэффициента gpp следует, что р= 1,5 соответствует поверхности, находящейся на бесконечном собственном радиальном расстоянии от любой точки с р > 1,5. Чтобы показать, что поверхность р=1,5 не является достижимой за любой конечный промежуток собственного времени и, таким образом, не принадлежит к асимптотически плоскому многообразию, достаточно рассмотреть радиальные изотропные геодезические. (Читатель может проверить, что в случае нерадиальных или вре-мениподобных геодезических дело обстоит даже еще хуже.) Имеем
где А, —аффинный параметр. Если вспомнить, что р0 — интеграл движения, поскольку метрика стационарна, то из приведенного выше уравнения следует
Так как интеграл в левой части расходится при р = 3/2, поверхность р =8/2 удалена на бесконечное аффинное расстояние. При P^3/г отсутствуют какие-либо сингулярности, и р является монотонно убывающей координатой для радиально падающих фотонов и частиц. Поэтому поверхность р = V2, так же как и поверхность р = 3/2, должна находиться вне физического многообразия.
Приведенный выше вывод свидетельствует также о том, что поверхность звезды, коллапсирующей таким образом, чтобы индуцировать рассматриваемую вакуумную метрику, никогда не может достигнуть P = sIi- Следовательно, для реалистических физических систем данная метрика реализуема только при р >3/а.
Spp (РрУ + S00 Ы2 = 0,
или ГЛАВА |8
Решение 18.1. Искомая мощность гравитационного излучения определяется квадратом третьей производной по времени от квадрупольного момента:
Мощность = ~ (J У GmLi
Соответствующие параметры для среднего массачусетского автомобилиста: масса кулака и предплечья Л4 я« 2-IO3 г; длина предплечья Lf=^bO см; средний период одного «сотрясения» /яа 0,2 с. Ведя вычисления в единицах СГС, получаем, что мощность излучения составляет величину порядка 2-Ю'43 эрг/с.
Чтобы подсчитать полную энергию, расходуемую в этом процессе автомобилистом, воспользуемся тем фактом, что мускулы являются почти полностью неконсервативными, так что на каждое «сотрясение» кулаком уходит энергия, приблизительно равная максимальной кинетической энергии всей движущейся руки:
1 L2 1 Мощность = у M -Ji- • у я^з • IO8 эрг/с.
Таким образом, «коэффициент полезного действия» этого процесса равен примерно Ю-61.
Решение 18.2. Гравитационная энергия связи системы порядка M2IR, а кинетическая энергия порядка MR2ITlfm, где Tmm—. некоторое характерное время, описывающее движение системы. Из теоремы вириала известно, что для систем, находящихся в равновесии,
Tlaa~R3/M.
Скорость потери энергии на гравитационное излучение определяется квадратом третьей производной по времени от квадрупольного момента и равна примерно
PW^M2RiZTlm.
Время, необходимое для того, чтобы реакция излучения заметно повлияла на систему, есть время, необходимое для излучения заметной доли ее энергии в виде гравитационных волні
