Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
г8 — ZMr2+a2r+a2 M =¦ 0. (8)
Это уравнение легко решается с помощью классической формулы для решений кубического уравнения; минимальный радиус поляр- 432
РЕШЕНИЯ
ной орбиты равен
где a = a/M. Обратите внимание, что в предельном случае E2 стремится к бесконечности, следовательно, предельным случаем является орбита фотона. Минимальный радиус может иметь значения в интервале г = SM для а = 0 до г = (1+2?) M для a = M.
Решение 17.12. Пусть | — времениподобный вектор Киллинга, существующий в силу статичности черной дыры. Уравнение Киллинга гласит:
la;? =— 5?; а> (1)
a требование статичности метрики (см. задачу 10.8) имеет вид
?ta;?iv] = 0- (2)
4-скорость неподвижного наблюдателя параллельна |, т. е.
a = S/o'/., (3)
0 = -6?. (4)
Для фотона с импульсом р поверхность бесконечного красного смещения определяется условием
O = (P-U)
оо/(р ' и)ИЗЛуЧатель — ^излучатель»
где мы использовали тот факт, что р • | постоянно вдоль геодезической траектории фотона и v нормировано на бесконечности на единицу. Таким образом, эргоповерхность — это поверхность, на которой вектор Киллинга | является изотропным. Докажем, теперь, что эргоповерхность V = O есть изотропная гиперповерхность, т. е. нормаль к ней является изотропным вектором. С помощью уравнения (1) перепишем уравнение (2) в виде
ia;?5v+5?:a5? —5v;?5<x = °. (5)
а затем умножим скалярно уравнение (5) на Iv:
+ [a!?]=0. (6)
Из уравнения (6) видно, что Vya параллельно ^ee всюду, где у = 0. Но v,a есть нормаль к гиперповерхности V = 0, т. е. нормальный вектор является изотропным, что и требовалось доказать.
Это доказательство должно быть изменено в вырожденном случае и,а = 0, поскольку возможно, ЧТО U = O в конечной области, а не только на гиперповерхности. Подробное исследование показывает, однако, что это не так [см. Carter В., Journ. Math. Phys1 10, 70 (1969)]. ГЛАВА 10
433
Доказанная здесь теорема относится к шварцшильдовской черной дыре, где поверхность г = 2М является одновременно и горизонтом, и поверхностью бесконечного красного смещения для неподвижных наблюдателей (фактически для всех наблюдателей). Примером такого случая, когда эргоповерхность не совпадает с горизонтом, может служить черная дыра Керра.
Решение 17.13. На внешнем горизонте (г = г+) метрика с dt= = dr = 0 приобретает вид
ds2 = (rl+а» COS2 ft) dft2 +
v + 1 ' ' (/-iJ. + a2 cos2 ft)
Следовательно, площадь поверхности горизонта есть
А = gV* dft d<p = $ $ (/* +.a2) s:і:n ft dft d<p = 4:Jt (^ +,a2)..
Поскольку г+ —больший корень уравнения A = O, мы имеем
г+ = M + (M2 + Q2 — а2)1'',
откуда и следует искомый результат.
Решение 17.14. Две исходные черные дыры имеют одну и ту же площадь поверхности, так что первоначальная суммарная площадь поверхности (см. результат задачи 17.13, но с Q = O) есть
Л„а,аль„ = IGnM1 [M1 + (М\ - в»)'/.]. Конечная черная дыра является шварцшильдовской, откуда
Лконечн = 4я(2М2)2=16яМ?. Неравенство ЛКонечн Ss ^начальн Приобретает ВИД
м;+M1 (Mf-a2)Vi.
Если a = M1, то M2^sM1. Полная начальная масса была равна 2М1( так что конечная масса должна равняться по меньшей мере половине этого значения. Итак, согласно теореме Хокинга, до 50% первоначальной массы может быть превращено в уходящее излучение!
Этот процесс является наиболее эффективным среди всех соударений незаряженных черных дыр. Действительно, предположим, что две черные дыры с массами M1 и M2 и параметрами момента количества движения O1 и аг сливаются и образуют новую черную дыру с массой M3 и параметром момента количества движения а3. Тогда из неравенства /4конечн Sa Лначальн следует
M1 [M1 + (М? - а\У'] + M2 [M2 + (MS - о»''.] 5 <M,[M3 + (Mj-oj)v.]. 434
РЕШЕНИЯ
Наибольший выход энергии получается при равенстве двух частей; более того, для данных значений M1, Ma, O1 и Oa наименьшая масса Ms (и, следовательно, наибольшее значение излученной энергии) соответствует случаю O3 = 0. Аналогично для данного значения M3 при а3 = 0 наибольшее значение суммы M1 + M2 (опять-таки соответствующее наибольшей излученной энергии) достигается при Ia1I = Ia2I = M1 = M2. Поскольку O3 = O1 из сохранения момента количества движения следует, что O1 = — а2, и мы приходим к ситуации, которая была подробно разобрана выше. Окончательный вывод: в процессе соударения и слияния двух керровских черных дыр может быть излучено не более 50% первоначальной массы.
Решение 17.15. Площадь поверхности А и «приведенная площадь поверхности» A керровской черной дыры определяются следующим образом:
А г= 8яЛ = 8я [M2 + (M4 — У2)'7'], (1)
или, что то же самое,
Ai — 2 ЛМ2 + У2 = 0. (2)
Беря первую вариацию от этого выражения, получаем
(Л-М2)бЛ = 2ІМбМ-УбУ. (3)
Левая часть равенства неотрицательна в силу второго закона динамики черных дыр (теорема Хокинга из задачи 17.14). Пусть некоторый частный тип волны обладает зависимостью от t и <р вида ехр(—i(?)t-\-і тер). Как скалярные, так и электромагнитные и гравитационные волны удовлетворяют соотношению
