Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь разложим А'7 в ряд:
Zi'/= -J- С У (е-xak,х + е^-VJXal,(6)
(2я) /г J (2со) h Y
Здесь ш —частота волны, а є*'— поляризационный тензор. Операторы рождения и уничтожения, взятые в один и тот же момент 462
решения
времени, удовлетворяют перестановочным соотношениям [я*д, а\'. К'] = б3 (k -%') би'»
откуда следует
«*д|0> = 0
и
<Х %\ablK'\0) = bs(k-k')8w. (7)
Подставляя соотношения (4), (6) и (7) в выражение для матричного элемента (5), получаем
<8>
Поскольку kr 1 эВ)- 10~8 CM «Si 10~4, мы можем положить приближенное'*"'=! (ср. так называемое дипольное приближение, ивпользуемое при рассмотрении электромагнитных переходов). Тогда интенсивность перехода есть
dT = 2л I TI2 X плотность конечных состояний для гравитона = - 2л IT |2м2<Ш, (9)
где dQ —элемент телесного угла, в который испускается гравитон. Следовательно,
\(ls\pip/e{i\\3d) I2. (10)
dQ nml
Матричный элемент в этом уравнении можно вычислить, если использовать явный вид волновых функций. Далее, так как спины электронов в начальном и конечном состояниях атома не наблюдаемы, мы возьмем сумму по конечным спиновым состояниям и усредним по начальным спиновым состояниям. Проще всего это можно проделать, если ввести чисто спиновый оператор для спина 2:
Qi/ = PiP/ — у StjP2- (И)
Так как ег* = 0, мы можем заменить в уравнении (10) pipj на Qy. Сферические компоненты Qij имеют вид
Q2 = ~2 (Qxx Qyy ~f" 2 iQxy), Ql = Qzx + iQzy,
Q0^if (Qzz-^Qxx-\Qyy), №
Q-i = Qzx iQzy, Q—2 s 2" {Qxx — Qyy — 2iQxy)' ГЛАВА 10
463
Поскольку х- и «/-компоненты е}]1 равны (для А, = ± 1)
j_r 1 ±i
V2[± І —1 находим
QijeKlt = VZQ-*, (13)
Так как Qa обладает спином 2, то из теоремы Вигнера — Эккарта вытекает
(hmi I &! /<«/> = Qj Il Q І /;> <2 aiimi I />/>. (14)
где «приведенная» матрица определяется следующим соотношением:
(Іj Il Q Il /г) = J 2jJ+T (2аІ'ті ІІJmI> QlmI I & I /<m<>- (15)
mjtn^a
Здесь QmjiiTii I //n,) — коэффициент Клебша — Гордона. Таким образом, из уравнений (13) и (14), добавляя квантовое число п, получаем
I (njijmj I QiJeir І Піїт) I2 = 21 (tijjj Il Q II tiiji) H <2 - 2Xjtmi | jjmj) |».
Теперь возьмем сумму по nij и усредним по mit воспользовавшись соотношением
27tVi 2 I (2 — Tkjimi I ///Пу) j2 = -W+ї =
m^tij
Отсюда
dr Geo 2 2/. + 1 , ,
Ж = —T^ZTI <"/>>iiqII• (16>
dQ пте 5 2ji +1
В этом выражении не учитываются поляризация гравитона и угол испускания; следовательно, полная интенсивность перехода получается путем умножения выражения (16) на 2 (для двух состояний поляризации) и на 4л (полный телесный угол). В результате находим
Geo 16 2//4-1 ,
Приведенный матричный элемент можно вычислить из уравнения (14), выбрав mt и mt любым удобным для нас образом. Например, 464
РЕШЕНИЯ
В уравнении (18) коэффициент Клебша — Гордона равен единице. Из определений (И) и (12) следует
Член о р2 не дает вклада в матричный элемент в правой части (18), так как не описывает связи между состояниями с / = O и / = 2. Поэтому _
<ls J Q13d) » У j <100 I ргр, 1320). (19)
Вообще говоря, для вычисления матричного элемента в (19) нужно было бы ввести полное множество состояний, а затем представить его как сумму членов вида
<100 \р,\п)(п I1320).
Однако можно воспользоваться тем фактом, что волновая функция 1100) чрезвычайно проста, и, произведя замену
р,-+ — 1д/дг, непосредственно подействовать оператором
на сферически-симметричное 1100)-состояние. Тогда будем иметь
со я 2л _
<3201 pi і 100> = — J r*dr Jsinfldfl J dy t3cos^"0 х
0 0 0 д2
1
X ISSiL(L)*е-,73*(cos2А * + ***1 ±е-фв 955 [a J \ дг» г drjV^n ±
а2
о о
Кб 8 ? . . г*Л 1 /6 - 8 - 243 - 57 0,19
191а' 15 J \<Р ^ a J а2 191 • 15-2 ¦ 25 j а»
о
где а«= (т/хУ1 — боровский радиус, а а= 1/137 —постоянная тонкой структуры. Окончательно получаем Г Gco 16 1 3 (0,19)2
(4 5 б г «*
0,SQGm',ом*. ГЛАВА 10
465
Для перехода Зр-*- Is имеем Gtnse = 1,75 • ЇСИ8 и со = 12 эВ, откуда и находим искомое время жизни Г-1= 1,9 • IO38 с.
Решение 18.19. Звезда и испускаемый ею поток тепловых гравитонов являются сферически-симметричными только в смысле усреднения по времени. Поскольку вещество внутри звезды состоит из субатомных частиц, ясно, что в данный момент времени звезда может быть сферически-симметричной с точки зрения астронома, но не с точки зрения математика, предъявляющего к понятию симметрии гораздо более строгие требования. По мнению последнего, звезда обладает на уровне атомных масштабов тонкозернистой структурой, поэтому любые теоремы о симметрии неприменимы. Разумеется, эти мелкомасштабные неоднородности в распределении частиц зависят от времени, что и приводит к генерации гравитационного (и электромагнитного!) излучения.
Мультипольность потока связана с масштабом угловой асимметрии потока. (Это утверждение нельзя смешивать ни с тем фактом, что генерация гравитационных волн является локально квадрупольной, ни с тем, что усредненный по времени поток является монопольным, т. е. изотропным.) Для такой звезды, как наше Солнце, большая часть потока гравитонов генерируется в плотном (50 г/см3) высокотемпературном (IO7K) ядре звезды. Если принять, что характерный радиус этого ядра составляет четверть радиуса Солнца, т. е. около 2-IO10 см, а среднее расстояние между частицами вещества (как показывают оценки плотности) порядка IO-8 см, то получится, что угловой масштаб асимметрии составляет по порядку величины ~ Ю-18 радиан. При разложении в ряд по сферическим гармоникам для структуры, характеризующейся «зернистостью» по углу порядка Ю-18 радиан, требуется, чтобы число значений t также было порядка IO18. Следовательно, в смысле существования подобной мелкозернистости поток гравитационного излучения характеризуется мульти-польностью порядка 210".
