Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
?о (") = "2 J hOO (") du, I1 (и) = - У J Zi11 (ы) du,
и и
li(u) = ^h02(U) du, Із (u) = \h0Z(U)du.
Посмотрим теперь, получили ли мы те же самые компоненты, если бы спроектировали возмущение таким образом, чтобы выделить его поперечно-бесследовую часть. Поскольку Zi = A00 + A11. выделение путем проектирования поперечной части эквивалентно выделению поперечно-бесследовой части. Но применение опера- ГЛАВА 10
453
тора проектирования, выделяющего поперечную часть, оставляет инвариантными компоненты A22, A23 и /R3, что и имеет место в случае нашего калибровочного преобразования. Таким образом, мы другим путем приходим к тем же самым компонентам.
Решение 18.9. Направим ось z вдоль оси симметрии системы и введем циклическую аксиальную координату <р. В некоторый момент времени Z = Const в расположенной вдали от источников асимптотически плоской области, через которую распространяются гравитационные волны, момент количества движения внутри замкнутой 2-поверхности г = T1 есть (в силу симметрии задачи имеется только одна аксиальная компонента)
А—(Ібя)-» Ф I^d2Zliv, (1)
Г=Гі
где | = д/д<р. [См. задачу 16.23. Доказательство проходит, даже если не существует временного вектора Киллинга и даже при наличии волн, поскольку волны изменяют только пространственно-пространственные части метрики—см. [1], т. 2, уравнение (19.5).] Аналогично момент количества движения внутри замкнутой 2-поверхности /¦ = r2(r2>r1) есть
У, = —(16л)-» $ Swvd1Sliv. (2)
r=rt
Следовательно, момент количества движения волн в области между гх и т2 равен
J3-Ji=-(16л)"1 § ^^+(16л)-1 § ^ivd22(iv =
г = Г, Г=Г і
= 5
где мы, как и при решении задачи 16.23, использовали теорему Стокса. Поскольку в области /^1 =? г «?г2 компоненты тензора равны нулю, то равна нулю и разность J2-Jи так что поток момента количества движения для гравитационных волн также обращается в нуль.
Решение 18.10. Плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси г, можно описать в месте расположения детектора с помощью величин
hxx = -hyy = Re {А+е~ш\, hxy = hyx = Re {А*е~ш}.
Если плоская волна является монохроматической (и, следовательно, полностью поляризованной), амплитуды А+ и Ax будут постоянными. В более общем случае, когда мы рассматриваем волны в узком диапазоне частот вблизи со, амплитуды А+ и Лх 454
решения
будут медленно меняющимися функциями времени (медленными по сравнению с осцилляциями волны» Так как интенсивность пропорциональна квадратам модулей амплитуд А, можно ввести поляризационный тензор
П - UaAt)
Раб— |Л+|3 + |Лх|2 .
определяя его по аналогии со случаем электромагнитных волн (см. [7], 5-е изд., стр. 160 и далее).
Следуя и дальше этой аналогии, замечаем, что рассматриваемая матрица является эрмитовой со следом, равным единице, и мы можем переписать ее в виде
1
P ab — ~2
1 +S3 Si - ІІ2 I1+ ? 1 —Із .
Как и в случае электромагнитных волн, назовем величины I1, |2, I3 параметрами Стокса волны. (Примечание. Некоторые авторы называют их нормированными параметрами Стокса.)
Эти параметры характеризуют состояние поляризации волны. Чтобы понять их физический смысл, рассмотрим смесь, состоящую из 1) неполяризованных волн, 2) волн с круговой поляризацией и 3) линейно-поляризованных волн в направлении, составляющем с осями ха у угол г|). Математически эти три случая соответствуют суперпозиции следующих амплитуд:
1) А+ = G1(Z), ^x = G2(Z), где <| G1 (Z) |2) = (| G2 (Z) |2> = (| G |2) и (G1(Z)Gf(Z)) = O,
2) Л+ = Я(0, Ax = ±iH(t),
3) Л+ = F (Z) cos 2iJ), ^x = F(Z)Sin 2і[>.
Мы предполагаем, разумеется, что G1, G2, F и H являются физически независимыми. Тогда поляризационную матрицу можно записать в виде
J_ Td-^I2) cos2 2i}j + (I G j2) + (I Я I2) (I F I2) sin 2i|?cos 2ф qp t (| # j2) 1 p= 1 Ld^l2) sin2i})cos2i|;±t(|#|2) <|sin2-f-<|GJa>-+- <[,f/ ja>J* / = (I Zr I2) + 2 (I G I2) + 2 (I # j2),
откуда следует
S3 = T<lfl2>>cos4^ li = T<l,/7l2>sin4^ 52 = ±т<|Я|2>.
Теперь мы видим, что характеристики состояния поляризации гравитационного излучения можно найти из параметров Стокса почти таким же образом, как и в случае электромагнитного излучения. ГЛАВА 10
455
Степень максимальной линейной поляризации (іа + Іі)'7*-Направление максимума линейной поляризации tg = I1^3. Степень круговой поляризации |?3| (положительные значения I2 соответствуют право-циркулярной поляризации). Общая степень поляризации (?i+ il +IiDv'.
Решение 18.11. Проще всего проанализировать этот процесс в почти ньютоновской системе отсчета. Тогда движение пробных частиц (и наблюдателя) описывается уравнением вида
X ~ Rx r^i fix,
где R означает величину компонент тензора Римана для гравитационных волн, a h — безразмерные возмущения метрики, соответствующие этим волнам. Поскольку волны являются в нашем слу* чае слабыми возмущениями колебательного типа, координаты частиц меняются также в весьма малой степени; поэтому мы можем проинтегрировать уравнение движения и получить решение вида
X (*) - х0 = xji (0+af + ? + 0 (Л2),
