Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтман А. -> "Сборник задач по теории относительности " -> 125

Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.

Лайтман А., Пресс В. Прайс Р., Тюкольски Сборник задач по теории относительности — М.: Мир, 1979. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoteoriiotnositelnosti1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 152 >> Следующая

т. е.

o'=—1

Аналогично можно вычислить другие скалярные произведения и показать, что

й>а • Й>? = TJ06P.

б) Дуальный базис е^ определяется с помощью соотношения

<®Ч e$> = 6"?.

Если

й" = и е^ = ?^eY>

то матрица B^ должна быть транспонированной обратной матрицей для Чтобы найти В из А, мы можем отделить недиагональную (/ср)-часть от диагональной (гй)-части; тогда из

Ibz-^lv' О Ш

S=S

.®*J L -0Wa

I gtt - ©2Яфф Г7' ® I gtt- ®2?фф Г7' О (gw)-1"

следует

Поскольку (гФ)-часть диагональная, обратная матрица для нее находится элементарно:

e? = (A/2)v«er> eg =

в) Поле 4-скоростей свободно от вращения, если соаР = 0 (см. задачу 5.18) или, что то же самое, если и ортогонально гиперповерхности

"[и ?uv] = О

(см. задачу 7.23). Быстрее всего можно проверить выполнение этого условия, если воспользоваться базисными 1-формами и эквн- ГЛАВА 10

439

л

валентностью и^. ^ и do'. Тогда условие

= О

будет равносильно условию

dS/f\G)?= 0.

Но

ю' = а dt,

где

а = I Iv-=-а (г, ft),

так что

dw^ = a r dr Д dT+ а <> dft Д dt

и

dfi/Д а/= О

ввиду того, что d/Л Sf= 0 (здесь Д означает полностью антисим-метризованное прямое произведение).

г) 4-скорость наблюдателя с нулевым моментом количества движения определяется выражением

_ j_

U = ч = I Stt - ©2?ФФ г 2 (е< + ®еф)-

Векторы ее и еф суть векторы Киллинга. Векторное поле е, + меф не является векторным полем Киллинга, так как угловая скорость щ не является постоянной. Тем не менее любой конкретный наблюдатель с нулевым моментом количества движения движется вдоль вектора Киллинга | = е/ + ©0еф (со0 — фиксированная постоянная, которую мы выбираем равной со для радиального расстояния конкретного рассматриваемого нами наблюдателя с нулевым количеством движения). Следовательно, можно воспользоваться результатами задачи 10.14 и получить

а = у VlnIi-II = y v 1пі?" + 2®о?'ф + ©о?фф|. Подставляя g/q) = — ©?фф, для щ = щ0 окончательно получаем а=у Vln|g«-©2gw|.

Решение 17.19. Если в метрике Keppa в координатах Буайе — Линдквиста положить t = const и г = г+, мы получим метрику горизонта

ds2 = (г}, -fa2 cos2 ft) dft2 + (2Mr+)2 sin2 ft (4+а2 cos2 ft)"1 d<p2. (1)

(При записи метрического коэффициента #фф мы использовали соотношение r\-\-a- = 2Мг^.) Гауссова кривизна К 2-поверхно- 440

РЕШЕНИЯ

сти — это то же самое, что Риманова кривизна из задачи 9.23, где мы вычисляли тензор Римана для 2-мерной метрики. Для наших целей удобно воспользоваться некоторым ортонормированным базисом. Для метрики вида

ds2 = е2а' (dx1)2 + еш' (dx2)2 (2)

положим

й>1 = еа' dx1, &2 = е"» Sx2 (3)

и получим

К=Kffii=Яш (4)

Быстрее всего найти тензор Римана с помощью 1-форм, как в задачах 8.27 и 9.20. Поскольку

doi = еа< Sai Д Sx1 = BaiCtli 2 djc2 Д dx1 =¦ ah 2e-a««>2 Д S)1,

а выражение для го2 отличается от приведенного только заменой индексов 1 на 2 и наоборот, находим

a aa

б1 j = ^2Ocli ,,б)1 — e_(X<a2i xos. (5)

a aa

(Напомним, что dS>a = — <5°^Дюр и <5^ =— ю^.) Единственная нетривиальная форма кривизны есть

= dS>\ + ш^Л = = d (ah 2е«1-«« dx1 — a2> і«*1«-«' Же2) + 0 = = («1,2^1-0"), 2 Sx2 Л Sx1 - (a2, ! dx1 Л Ж2 =

_ — е-(а,+аг) [(<A 1е~а')і ! + (є™', 2] 0і Д W2.

Так как

e^fS = ^f SlifiiA oi»

имеем

/C = /?fji5 = -e-<«.+«*> [(e"',^-eOil+(є"1,/-««).,]. (6)

Из уравнения (6) с использованием явного вида метрики (1), где X1 = ft, X2 = ф, находим

V о ла 3a2cos2 ft

K=2Mr+ (rt+flacos2d) з- (7)

Обратите внимание, что если г+ — За2 < 0, то кривизна К отрицательна в некотором промежутке значений ft вблизи полюсов (ft = 0, л). Но если кривизна К отрицательна, то поверхность не может быть глобально погружена в евклидово 3-пространство. Так как

г+ = М + (М2-а2У',

условие

г% - За2 < 0 ГЛАВА 10

441

эквивалентно условию

а > 3V«Af/2. Теорема Гаусса —Бонне гласит:

$ Kd2S = 2лх,

где х-эйлерова характеристика поверхности (х = 2 для сферы, X = O для тора и т. п.). Поскольку

d2S = (g)2 dft гіф = 2Mr+ sin ft dft dq>,

имеем

2л л

X = (2л)- (2 Mr+Y ^tSSA sin = (2Mr+)2 2 j ^=?* dx = (2Mr+r 21-^^1 = 2,

т. е. поверхность горизонта топологически эквивалентна 2-сфере. [Более подробное рассмотрение см. в статье Смарра: Smarr L., Phys. Rev. D7, 289 (1973)].

Решение 17.20. Явление усиления падающего на черную дыру излучения, описанное в задачах 17.15 и 17.16, на квантовомеха-ническом языке соответствует вынужденному излучению (или отрицательному поглощению). Если нам известна интенсивность вынужденного излучения, то интенсивность спонтанного излучения можно найти следующим образом.

Пусть р — вероятность спонтанного испускания одного кванта на единицу объема фазового пространства. Если число падающих квантов равно N, то вероятность получения TV+1 испущенных квантов в процессе вынужденного излучения равна (Ar +1) р, так Как интересующие нас кванты (гравитоны, фотоны) являются бозонами. Чтобы упростить рассуждения, предположим, что р тогда мы не должны рассматривать случай излучения более одного дополнительного кванта. Размерность результата не изменилась бы, если бы мы даже отбросили это упрощающее предположение. Математическое ожидание для числа испущенных дополнительных квантов равно
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed