Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
откуда следует
Решение 16.14. В координатах кривизны метрика не может быть непрерывна при пересечении оболочки, так как
= (l-2™(r)/r)-S ГЛАВА 19
407
а т(г) изменяется в точке пересечения оболочки. Поэтому мы будем использовать изотропные координаты, в которых метрика, несмотря ни на что, непрерывна и осуществляется гладкое сшивание метрики пустого пространства внутри оболочки с метрикой, характеризующейся наличием массы M вне ее. Эта метрика имеет вид
ds2 = — ev dt*+ea (dr2 + г2 dQ2),
-2
1 _м\2
1 Ir
1 -
1 ,M
1 R
, r<R,
(1)
(2а)
('+Г,у. (> +
м_ \*
2 R
r>R, r<R.
(26)
При сшивании метрики в выражениях (1) и (2) мы воспользовались тем фактом, что по теореме Биркгофа (см. задачу 16.3) геометрия является шварцшильдовской вне оболочки и плоской внутри нее. Кроме того, мы полагаем, что поверхность оболочки расположена на расстоянии, соответствующем значению изотропной радиальной координаты г = R.
Определим далее компоненты интегральных напряжений Лар следующим инвариантным образом:
/? + ? л R + є ^a
Л«р = Iim J dr=. Iim $ ^V2 dr¦ (3)
Значения компонент Л можно найти, используя уравнения поля Эйнштейна и замечая при этом, Цто, согласно уравнениям (2) и (3), вклад в них могут давать только те члены C11v, которые содержат вторые производные от метрики.
Компоненты Gpv Для метрики (1) имеют вид (см. задачу 9.20)
G00^aVc О,
G^ = GV
___ (е-а)
dr2Iе >'
1
е-*(а" + у"),
d*
(4а) (46)
2 \--1" г /----2 [ІМ*"^" dr '
где ~ означает, что мы отбрасываем все члены, не включающие вторые производные. Используя формулы (3) и (4), а также эйнштейновские уравнения поля, получаем
R + s а
Лвв = Л°в = —(8я)-Чіш \ (е a)dr~- (8лучіте2
е_0 J аг е-»0
X
R-е
R + e 408
РЕШЕНИЯ
и, далее,
Л°6= 4л/?2 (X-JrMIIRf '
Л?; = Ao = 0, (5)
R + H Е~* Я—8
= - (8л) 1 lim { в«/» (е <*) - е aY']
или
д ЛІ / УИ/2/? W УИУ-З
Л да ІгздаД1+«J • (6)
Чтобы дать правильную интерпретацию уравнений (4)-(6), мы должны помнить, что /? —радиус оболочки в изотропных координатах. В координатах кривизны радиус <М есть
<M = R(\+M№)\ (7)
и, таким образом, собственная поверхностная плотность массы равна
Л * (8)
4ле^2 4я/?2(1 -f M/2W В ньютоновском пределе уравнения (4)-(6) дают
Л 0 4я/?* '
Л'? = О,
доА -Лт* ) м%
А « -/Y^tp ->16jl/?3.
Решение 16.15. Условие энергодоминантности требует, чтобы выполнялось неравенство
|rss|>|r^|. (1)
Используя результаты решения 16.14 и интегрируя по тонкой оболочке, мы приходим к неравенству
Л M у» 1 MftR / M \-з 2)
\ ' 2R J 2 X-MftR \ ' W
где R — изотропная радиальная координата. Полагая M/2R=x, получаем 2 — 2х>х или х<2/з, что дает
R > %М. ГЛАВА 10
409
Соответственно для шварцшильдовской радиальной координаты <г% имеем
^ = (3)
что составляет около 1,04 шварцшильдовского радиуса.
Решение 16.16. В изотропных координатах (см. задачу 16.14) красное смещение на радиальной бесконечности равно
«
1 — ^ ГЇ7 1 — (p V'2)nOBepx — I-
^¦поверх ( ?oo)i
поверх
I + M/2R _ J _ MjR
~ I — Mj2R 1 — M/2R'
Интегральные плотность массы-энергии и поперечные напряжения равны соответственно
Atfa__Af/, MH
Ah = A** = JL ( mVr )( і л«-л, SnRt\l-M/2RJ\1+2R J •
Следовательно, отношение интегральных напряжений к плотности массы-энергии равно
Щ M/AR 1
-Aog" 1 - M/2R "J2'
так что красное смещение на бесконечности выражается через эти величины следующим образом:
2 = — 4Л*а/Л®&.
Если выполняется условие энергодоминантности, то I <! A^tfl и ZSS4.
Решение 16.17. Неисчезающие компоненты 4-скорости жидкости суть и' и ыф = Qu', т. е.
«-'(у + в*)-
Пусть
8-1 + q^+qSW
Поскольку Q —постоянная, вектор | является вектором Киллинга. Согласно задаче 10.14, имеем
VuU = VlnllMI^, 410
РЕШЕНИЯ
где
IMI2 = IM
так как u-u = —1. Таким образом, уравнение Эйлера (см. задачу 14.3) для жидкости принимает вид
(р + р) V In (u')-1 = - Vp - (\it)p) и.
Поскольку р не зависит от t и ф, ясно, что V|p = 0. Отсюда имеем
(р + р) V In Ut = Vp.
Решение 16.18. Учтем прежде всего, что dp = (р + р)dinUt (звезда находится в состоянии гидростатического равновесия; см. задачу 16.17). Возьмем затем от обеих частей этого уравнения внешнюю производную и, воспользовавшись соотношением ddp = 0, получим
0 = d(p + p)Adln ы' = d (р + р) Л (р + р)-1 dp.
Отсюда вытекает
dpAdp = 0,
и, следовательно, поверхность р = Const совпадает с поверхностью p = const.
Решение 16.19. Поверхность звезды представляет собой поверхность постоянного давления р (так как р = 0). Из задачи 16.18 следует, что она является также поверхностью постоянных значений рив силу параллельности
dp ~ d Ut
поверхностью постоянных значений и1. Но в обозначениях задачи 16.17
("О"1 = II-I Г/г = I gtt+ 2g^Q +gwQ21 v.,
так что на поверхности звезды
gtt + ^guP- + ёГфф^2 = const.
Решение 16.20. Пусть р —4-импульс фотона, а иизл и U00-соответственно 4-скорости некоторой излучающей точки на поверхности звезды и наблюдателя на бесконечности. Тогда отношение излученной частоты к наблюдаемой равно
