Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
СТзахв - Я°крит - (?2_m2) - {?~2_1} ~
или
л^рит^27л/И2(і+4г-). (5)
б) Для Ё яа 1 (малые значения ?) имеем
?2 я» 1 + ?2, 384
РЕШЕНИЯ
и уравнение (3) можно приближенно записать в виде
18 + 54?2 ^ Г + (V - 12)'/./1.
—2
Решая это уравнение относительно L с точностью до первого порядка по ?2, находим
lKPHT=16(l+2?2) + 0(?4)
и
Озахв - ЛОкрит - (?a_i) '
Решение 15.12. Будем считать, что орбита Джона расположена в плоскости $ = л/2. Поскольку орбита круговая, то Ur = О, и из r-компоненты уравнения геодезической DurZdx = Q получаем
Г?, И' +1^(^ = 0, и, следовательно, для орбиты Джона
= ( *S.Y - (- -Vjl м - 1
w — \dt ) - \ и' J - Г'фф _ /-3 - 64М2 •
Поскольку dq>/dt=\/8M, а между встречами Джон проходит угловое расстояние в 20л радиан, это соответствует промежутку координатного времени, равному
At = 160яА1.
Из соотношения
Ы"02 + ?<рф OT = -I для орбиты Джона получаем
^ o(l-E)-lfl-, 2.
Следовательно, измеренный Джоном промежуток собственного времени между встречами равен
Дтджои = у А/ = 80яМ я« 251,5М.
Для описания траектории Питера мы используем уравнения радиального падения (задача 15.4). Время, в течение которого Питер падает от R до г = 4M, должно равняться
у Д/ = 80пМ.
Нам необходимо найти значения R и т), соответствующие интервалу времени t, равному 80пМ, и тогда мы сможем определить соответствующий интервал собственного времени для Питера из ГЛАВА 10
385
уравнения (6) в решении задачи 15.4:
(R3 W»
g^-J (ri + sinii). (1)
Уравнения для R и T1- это уравнения (7) и (5) из решения задачи 15.4:
40я = In
(X-I)V^tglr1 (X-I)V^tgi-T1
+ (Х-1)'/.[гі+1Х(л + 8Іпіі)], (2)
4 = X (1 + cos T1), (3)
где Х=#/2М.
Обратимся теперь к физической интуиции: для Питера путешествие в направлении от звезды занимает довольно значительное время, за которое Джон успевает совершить несколько обращений по орбите. Поэтому и расстояние X должно быть весьма велико, и, следовательно, Поскольку логарифмическая функция
меняется медленно, мы пренебрежем логарифмическим членом и напишем приближенно:
40 +
Отсюда получаем Х'/'^вО, т. е. Xя« 18,5. Тогда из уравнения (3) находим 1+cost]я«0,216 и соответственно т] = 2,47. Более точно,
Л = 2,46029 и X =2?"= 17,91737,
откуда
Атпитер = 468.72М.
Таким образом, по часам Джона пройдет гораздо меньший
Йпримерно вдвое) интервал собственного времени, чем по часам итера. Это и понятно: ведь Джон все время находится на ультрарелятивистской орбите, оставаясь в то же время глубоко в гравитационной яме, и оба эти фактора «замедляют» ход его часов, тогда как Питер проводит большую часть этого времени, путешествуя со сравнительно небольшими скоростями не очень глубоко в гравитационной яме (вспомним, что R/2M ~ 18).
Решение 15.13. Очевидно, нам необходимо такое преобразование, чтобы
f2 = e^2, (Ia)
e*Adr* = e^dr2. (16)
Используя оба эти условия, мы получаем дифференциальное
13 Заказ ПО 386
РЕШЕНИЯ
уравнение для /" — /"(г), выраженное через известную функцию Л:
г е г
Оно легко интегрируется, и решение записывается в виде
г = const -ехр ^ у dr), (2а)
Є2Ц = r2/f2 (26)
Для шварцшильдовской метрики
ел = (1 -Ш!гУч\ и из уравнения (2а) получаем
^const-expIS (^-tW.)'
откуда
r = /-(l + М/2/=)2, (3)
если мы выберем постоянную интегрирования так, чтобы г-*-г при т —оо. Соотношение (3) можно также обратить:
f = l[r-M±(r(r-2Al))'/.]. (4)
Из уравнения (26) имеем
+ М/2г)4. (5)
Отсюда следует, что площадь поверхности сферы с постоянными г и / дается формулой
А = (1 + М/2ГУ г2 $ dft sin fl гіф = 4я/*2 (1 + М/2г)4. (6)
Для построения диаграммы погружения заметим, что 1) согласно уравнению (4), отображение г в г является двузначным и 2).координата г описывает лишь ту область шварцшильдовской геометрии, где г ^ 2М [в уравнении (4) г становится комплексным для г<.2М\.
Для построения диаграммы погружения поверхности с постоянными t и г необходимо найти функцию г (г) такую, для которой
ds2 в dz2 + dr2 + г2 d92 = [ 1 + (dz/dr)2] dr2 -і- г2 гіф2 = = (1 -2М/г)-Ыгг + гг гіф2.
Решение имеет вид
z = [&M (г — 2/W)]v2. (7)
Парабола, являющаяся графиком этой функции, изображена на фиг. 29. Поверхность погружения представляет собой параболоид, полученный путем вращения параболы вокруг оси г. ГЛАВА 10
387
Фиг. 29.
Решение 15.14.
а) Рассмотрим буст в направлении ej. Для параметра скорости -ф = Arth ? преобразование определяется формулами
А' л, = A*., = ch ті), A'A, = A^,=shib,
t X т * t т
откуда
R____= A°v A^ Av Л\#=
t'x't'x' t' X' t' X' a?vo
= ch4 Щ:Гх + Ch2 ф Sh2 ЩІГі +
+ sh2 ij) ch2 ypRtfti + sh4 ^Rxirt = = (ch41|> - 2 sh2ch2 ij) -{- sh41|>) Rtin =
= (ch2i)5-sh2i)5)2 Riiii = Rnrx.
6) В геометрии Шварцшильда неисчезающие физические компоненты тензора Римана суть
= R**** =—2M/rs
t Tt г nOcpOcp 4ІГІ/Г ,
Rtm = = - Rrm=- =м/г*
плюс компоненты, сопряженные перечисленным в силу симметрии. Чтобы показать, что все физические компоненты являются инвариантными по отношению к бусту в радиальном направлении, мы можем непосредственно вычислить в явном виде 20 независимых компонент, подвергшихся бусту. Другой способ состоит в том, чтобы ввести в. шварцшильдовской геометрии векторы
