Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтман А. -> "Сборник задач по теории относительности " -> 105

Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.

Лайтман А., Пресс В. Прайс Р., Тюкольски Сборник задач по теории относительности — М.: Мир, 1979. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoteoriiotnositelnosti1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 152 >> Следующая


Уравнение для Ф имеет решение вида

ф = _Ь-ехр{— г/а Vб}, где a = R 2>

откуда сила, действующая на частицу с зарядом р3, равна

P = р2Ф,, = IillI2Zri [ 1 + rlVba] ехр {- гZa V6} ^ я« PlfVr2 [1 + г2/ 12а2 + 6 (г3/а3)].

Мы видим, что аномальная сила, обусловленная /^-членом и равная приблизительно р^щ/^а2, не зависит от расстояния между частицами, а это явно нарушает сильный принцип эквивалентности.

Из уравнений Эйнштейна ясно, что величина скалярной кривизны Риччи порядка плотности массы-энергии и, следовательно, отношение аномальных сил к «обычным» скалярным силам составляет

12а2 ^ '*2Рмасса"9неРгия ^wl ^2 [Р/Рядерн] ' Ю 14,

где г измеряется в сантиметрах. Таким образом, даже если скалярные силы измеряются внутри вещества с ядерными плотностями Рядерн — IO14 г/см3, то для того, чтобы аномальные силы, обусловленные /^-членом, начали заметно проявлять себя, нам необходимо было бы иметь в распоряжении заполненную таким веществом «лабораторию» довольно-таки внушительных размеров (г~ 100 км и более). В любом же практическом эксперименте влияние ЭТИХ гипотетических R-CHJl было бы ничтожно.

Решение 14.15. Согласно результатам задачи 7.7(и) и уравнениям Максвелла,

4n^ = ^v.v= і (|?|V,fuv)iV|

4л./% = 4л j—^lg Ilf-X » =^r77 (I g I1'-Л"). п,

Поскольку тензор F антисимметричен, левая часть должна быть равна нулю. ГЛАВА 10

365

Решение 14.16. В плоском пространстве-времени имеем /^viV = 4 л У»1,

Kv = Av, ц Allt v,

откуда

— +Л^,г = 4я.Л\ (1)

Если мы поменяем во втором члене порядок дифференцирования по и V, что можно делать в плоском пространстве-времени, а затем применим правило «запятая переходит в точку с запятой», то получим

—/4«% + = (2)

Если же, с другой стороны, мы применим это правило непосредственно к уравнению (1), то будем иметь

— A*"» + Av^lv =

Порядок дифференцирования во втором члене теперь можно изменить лишь вместе с введением члена с кривизной (см. задачу 9.8):

— Aw-V +Av-+ Rv0Aa = Anjv-. (3)

Уравнения (2) и (3) приводят, вообще говоря, к различным следствиям, которые можно проверить на эксперименте. Тем не менее мы пока что (вплоть до 1975 г.) не располагаем никакими экспериментальными данными, позволяющими сказать, какое из этих уравнений правильно.

Решение 14.17. Для члена связи с кривизной того вида, которой был найден в задаче 14.16, мы имеем (в лоренцевской калибровке, т. е. при условии Л^;ц = 0)

? Л* +(AMv) = 4яУи,

где скобки означают, что этот член может как присутствовать, гак и отсутствовать. Поскольку в вакууме тензор Риччи равен нулю, единственная надежда обнаружить присутствие этого члена могла бы быть связана с экспериментами в веществе (например,

в стекле). Первый член в уравнении имеет порядок A11 [min (^-, /)]~2.

Величина тензора Риччи (как следует из уравнений поля) порядка

Gpfc2^ 0,74-Kh28 CM-2J7-^pj).

Следовательно, относительная поправка, вносимая в уравнение вторым членом, равна

бЛи (min (у' *) (Р/Г-см-У j f 1,16-10" см 1 366

РЕШЕНИЯ

Поскольку предполагаете«, что пространственные масштабы земных процессов не превосходят размеров Земли /^6-IO8 см, числовое значение этой поправки для р = 1 составляет <

<(5-IO 6)2. Можно, разумеется, изобретать и более хитроумные члены связи с кривизной, например вида KRa^y6RafoeAv, где К— размерная константа. Поскольку, однако, приписать К какое-либо естественное значение не представляется возможным, то не существует и способа оценить априори величину эффекта, обусловленного подобными членами. Так как рассматриваемые уравнения сходны с уравнением Прока

то эксперименты по измерению массы покоя фотона могли бы в принципе дать какие-то ограничения на значение /С; к сожалению, пока что эксперименты не дали в этом направлении никаких результатов.

Решение 14.18. Для тензора энергии-импульса электромагнитного поля имеем

AnT^. v = — (Fva-^Fav+FvaFav-, v + 1 FapFaP: и) = 0. (2)

Рассматривая сумму первого и последнего членов в уравнении (2), получаем

- F^ (I Fap, х + Fta- ?) = -і FaP^ (Fap; r + Fta;?-FX?, a) = =- \ fa^ilt (F<1P ^+P + fPt;«) ~ ^VtJ=W; tj.

Если F выводится из выражения для векторного потенциала А обычным образом, то F[aP;t] = 0, и у нас остается уравнение

0 = 4я7^, V = — F%Fav;v.

Отсюда следует, что Fav;v = 0, за исключением случая, когда детерминант, составленный из коэффициентов Flxa, сам обращается в нуль. Но det (Flia) = — (E-B)2, что и требовалось доказать.

Решение 14.19. Заметим сначала, что гамильтониан нормирован таким образом, что обладает размерностью (масса)2; это означает, что уравнения Гамильтона суть

UAv + mAv = 0

4лТ^ = - (FvaFav + -А- STFapFa Р),

(1)

CbCvZdX = OHfdnll, dnll/dl = — dH/dx)1,

(1) (2) ГЛАВА 10

367

где к — некоторый аффинный параметр (для частицы массы т он равен т/т, где т — собственное время). Если бы гамильтониан H был поделен на т, то в уравнениях (1) и (2) можно было бы заменить d/dk на d/dt; преимущество использования d/dk заключается в том, что d/dk можно использовать также и в случае безмассовых частиц.
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed