Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
ЫЬ-Ч^Ъ (2)
(см. задачу 5.19) и уравнению Эйлера:
(Р + Р) Uk ?U? = -р,а- Р.?«?«a (3)
(см. задачу 14.3). Для статической звезды обе части уравнения (2) обращаются в нуль тождественно. Единственной ненулевой компонентой и является и', и из соотношения U-U«"=—1 следует, что и' = е~ф. Поскольку в нуль не обращается только произ- 400
РЕШЕНИЯ
водная р^г, единственной нетривиальной компонентой уравнения (3) будет
— р. г = (р + р) Ur- = — (Р + р) Га,рИа«Р = = - (р + р) TtrtUtUt = (р + р) Ф.
Решение 16.8. Пусть т (г) — решение ньютоновских уравнений внутреннего строения политропной звезды:
dm/dr = 4nr2p, (1)
dp,Idr = -0J^., (2)
P = Kpy- (3)
Если у = 4/3, звезда находится в безразличном равновесии (обладает нулевым запасом устойчивости); это видно из того факта, что
т (г) = т (аг), р(г) = а3р(аг), р(г) = а*р(аг)
также являются решением системы уравнений (1)-(3), причем им соответствуют те же значения полной массы т(оо) и коэффициента К-
Релятивистское уравнение, соответствующее уравнению (1), выглядит точно так же; что же касается заданного уравнения состояния (3), то мы предполагаем, что в релятивистской теории его вид также не меняется. Уравнение (2) в релятивистском случае заменяется на
[см. [2], уравнение (11.1.13) или [1], т. 2, уравнение (23.22)]. Поскольку рассматриваемая нами звезда является почти ньютоновской, члены в скобках очень близки к единице. Следовательно, можно найти точное решение уравнения (4), которое будет почти совпадать с решением ньютоновского уравнения (2) [например, подставляя ньютоновское решение в уравнение (4), получая затем малые поправки к р и находя решение методом итераций]. Обозначим это решение через m(r), р(г), р(г). Сконструируем из таких функций «пробное решение»:
m (г) = m (аг), р (г) = asp (аг), p(r) = a*?(ar). ГЛАВА їв
правая часть левая часть
Если мы подставим его в систему релятивистских уравнений, то равенство правой и левой сторон в уравнениях (1) и (3) не нарушится, но для уравнения (4) отношение правой части уравнения к левой с точностью до членов низшего порядка будет уже равняться следующей величине:
1+(а-1)ГІ+4я(«г)з l+2?l (5)
Lp т ar j
Для а > 1, что соответствует сжатию звезды до меньшего значения радиуса, правая часть больше левой, а это означает, что градиент давления всюду в звезде недостаточен для поддержания равновесного состояния и звезда вынуждена сжиматься до еще меньшего радиуса. Но и этот радиус не будет равновесным, ибо звезда по-прежнему будет оставаться почти ньютоновской, так что предыдущие аргументы вновь окажутся применимыми. Следовательно, состояние с y = 4/3 неустойчиво и область устойчивости должна начинаться с некоторого значения у >4/3 + е.
Решение 16.9. Увеличение массы звезды, состоящей из вырожденного газа, приводит к увеличению плотности вещества до тех пор, пока энергия Ферми частиц газа (электронов в случае белого карлика и нейтронов в случае нейтронной звезды) не достигнет релятивистских значений. Если Л—число барионов в звезде, а R- радиус звезды, то ферми-энергия составляет приблизительно (в релятивистской области)
»Р^Л'А. (1)
(В этом уравнении мы пренебрегли таким не очень существенным фактом, что как в нейтронной звезде, так и в белом карлике на один барион приходится примерно вдвое большее число фермионов, поддерживающих давление.) Гравитационная масса-энергия на фермион равна приблизительно
GAmil
Sa^--, (2)
где тв — масса бариона.
Заметим, что как гравитационная энергия, так и энергия сжатия одинаково зависят от R. Следовательно, решающую роль играет знак суммарного Коэффициента, стоящего перед R1 Если он положителен, то при добавлении массы радиус будет возрастать, а энергии Ферми начнут становиться нерелятивистскими, в результате чего энергия сжатия будет убывать быстрее R'1, и в конце концов при некотором конечном значении R будет достигнуто устойчивое равновесие. Если же коэффициент отрицателен, то в звезде установится и будет продолжаться режим 402
РЕШЕНИЯ
коллапса. Таким образом, критическое число барионов, при котором звезда становится неустойчивой, находится путем приравнивая %о и Sf;
^ = (?"'-ю". (3)
Уравнение (3) соответствует критической предельной массе
M1tpin = твАкрт 2ЛІ0 (4)
и предельным значениям радиуса
j. .ч f (!TieC2)1 для белого карлика,
Я КРИТ-^iZ11tX
L (т^с2)-1 для нейтронной звезды,
5,0-IO8 см для белого карлика, 2,7-IO5 см для нейтронной звезды.
Решение 16.10. Пусть в некоторой выбранной точке P наблюдатель строит сферу S, проходящую через P и определенную таким образом, чтобы во всех точках на 5 геометрия была одинаковой. Тогда из выражения для линейного элемента находим, что измеряемая площадь поверхности этой сферы будет равна
А (г) = Anr2. (1)
Градиент скалярной функции А (г) есть 1-форма, т. е.
VA(r) = dA = 8nrdr. (2)
Следовательно,
dA-d'A= 64 л2 г2 dr dr = 64 л V2 (1 - 2 m/r) (3)
и ^
/ч (А/л)'''/. <Й • СІЛ \ ...
Решение 16.11.
а) Шварцшильдовская метрика
