Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
V = L-2 + ~ A2 --cos 2ф = L-2 + 2Л2 — Л2 cos2 ф, откуда следует
и = Acosy-A2 cos2 у+1~2+ 2 А2. (7)
Асимптоты орбиты даются уравнением и = 0, т. е.
.42 cos2ф — Л С08ф — 5 = 0,
где
В = ± + 2А\
Jl
COS ф =-2^5- T' ^ '
Поскольку отношение BjA- малая величина, решение уравнения (8) имеет простой вид:
Ф я/2 -В/ А. (9)
Так как обеим асимптотам соответствует одинаковый угол отклонения (для ф^я/2 и ф «sa —я/2), то полный угол отклонения составляет
ДФ = 2 В/А. (10)
Если Ь — минимальное расстояние, на которое приближается частица к рассеивающему центру, то из определения (5) для Л следует
Л = М/Ь. (11)
Далее,
j2 _ L2 _ й' (Ei-т*) _ 62?2 L ~ М*т* MW M2 (1— ?2)'
M2 (1 - P"-) 'ZMi _Ai2 (1 -f- ?2) '
Р ~ &2R2 ~Г o2 O2R2 380
РЕШЕНИЯ
Из соотношений (10)-(12) окончательно получаем
= (13)
б) Дифференциальное уравнение, описывающее траекторию, запишем следующим образом:
^ (туг) = уттг-^-, (14а)
тугга г= L = const, (146)
Ze2
. ту—— = E ==const. (14в)
Из уравнения (146) имеем
d/dt = (L/myr2) d/dq, так что уравнение (14а) принимает вид
d2 . /, Z2e*\ ZeiE /1СЧ
^» + (1 -тг)»==—. (»б)
где «==1/г. Запишем решение уравнения (15):
I ZeiE
U = J c0STy + L2_zv, (16а)
tesH1 -if)4'' <16б>
оно для больших L сводится к выражению
1 7P^ F
U = J COS9 + ^. (17)
Наконец, асимптоты даются уравнением
п 1 . Ze2E
0 = j совфН—JJ-,
или
bZe2E
так что полный угол отклонения есть
д _ 2ЫегЕ 1Я.
^Фвлектромаг— / •
Воспользовавшись соотношениями
Е = т(\-$*)-\
T 2
u -I-B2' ГЛАВА 10
381
перепишем формулу (18) в виде
2Z»(1-P»)'/' J9
ljH-электромаг m6?a \1'
Формулы (13) и (19) отличаются друг от друга потому, что гравитационное поле тензорное, а электромагнитное —векторное: эти поля изменяются по-разному при преобразованиях Лоренца, что приводит к различной зависимости угла отклонения от ?, когда ? не мало.
Решение 15.10. Для решения этой задачи удобно использовать «излучательные координаты Эддингтона —Финкельштейна»: определим г* посредством соотношения
dr*/dr = {1-2М/г)-1,
т. е.
г* = г + 2М In (Г/2М -1) + const, и введем запаздывающую временную координату
u = t — r*.
Метрика Шварцшильда в этих координатах записывается в виде
ds2 = —(1 — 2M/r) du2 - 2du dr + r2dQ2. (1)
Полагая ds = 0, мы видим, что в этой метрике фотоны, излучаемые в радиальном направлении от центра, распространяются вдоль линий « = const. Красное смещение вычисляется путем сравнения промежутков времени между приемом и излучением фотонов для различных наблюдателей:
Лот (At)00 (Au)co (Au) du
Лизл (At) изл (Дт)изл (At) изл dx
(2)
Обратите внимание, что мы можем установить соотношение между временными интервалами на бесконечности и временными интервалами в месте нахождения излучателя, воспользовавшись тем фактом, что M = Const вдоль траектории световых лучей (фиг. 28). Теперь мы должны найти компоненту du/dx = Uu 4-скорости излучателя U как функцию времени t.
Поскольку uut являются циклическими координатами, то
из соотношении
и U-U = I имеем
Ut = Ua = COTist = -E (3)
H - ? - (?2 - 1 + 2М/г)Ч,
Ur- ! _2M/r ' ^ 382
РЕШЕНИЯ
Следовательно,
JJa = guuUu + gurUr ^ о + [? + (?2 - 1 + 2MlrY'' ] (1 - 2М/г)'1 (5)
и
Ur = garUa + grrUr = Ё + [-Ё-(Ё2- 1 + 2М/г)4* ] =
= — (Ё2 — 1 + 2М/г)1/г. (6)
Таким образом,
— = — = — # — 1 + 2M/r)4' (1 - 2М/г)
du ~ U« ~ е + (?2_ і +2М/г)1/> ' * '
Вблизи г = 2М из уравнения (7) получаем
du 2(1- 2M/r)~ldr ъ - 2 (r/2M - 1 )~Чг,
и «й - AM In [г/2М - 1) + const,
1 — 2/W/r я«ехр (—и/AM).
Подставляя все эти выражения в уравнение (5), приходим к выводу, что при г-»-2М
Ua яа е+иЦМ
Наблюдатель, падающий вдоль г?г(%)
Фиг. 28.
Но для наблюдателя, находящегося на фиксированном (и большом расстоянии г), ы = ^ +const, так что окончательно имеем
//4M). ГЛАВА 10
383
Решение 15.11. При движении частиц сохраняющимися величинами являются щ=.Ё и Wip = L, так что из U-U = I получаем
(dr/dx)2+V2(r) = E\ (la)
У s [(1 — 2M/r) (1 -j- L2Zr2)]1''. (16)
[См. также [1], уравнение (25.15) или [2], уравнение (8.4.13)]. Полагая QV2Idr = О, мы можем найти максимум V2:
V» _ L2+ 36+ (Г-12) (1-12/L2VU /9 »
' макс--g^ ' V^cU
LtE=LZM. (26)
Если для частицы Е> Кмакс, то она захватывается. Таким образом, предельное значение L, при котором еще происходит захват, находим, приравнивая
E2 = Vl акс (3)
а) Для больших E (больших L) уравнение (2а) сводится к уравнению
,,, . La+ 36+ (P-12)(1 -6/Г) _ ?* + 9 V макс — 54 ~ 27 '
и уравнение (3) принимает вид
Lkpht = 27 E2 9. (4)
Аналогично LKpHT можно ввести критический прицельный параметр Ькрит, который задается соотношением
и _ ^крит _ ^крит
UttnWT / о «¦
-Крит- р - (Е2 _„«)./,.
где т — масса частицы. Захват происходит для прицельных параметров, удовлетворяющих неравенству b < Ькрт. Тогда сечение захвата можно записать в виде
_ _ L2 _ яікр ит _ лАіа?Крит
