Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = —+ -Шу dr2+r2dQ2 (1)
в преобразованных координатах принимает вид
ds2 = — -™}du2-2dudr + r2dQ2. (2)
б) Мы хотим вычислить компоненты тензора Эйнштейна Gap для случая M = M (и). Проще всего найти еимволы Кристоффеля из выражения для лагранжевой функции, использованной в за- ГЛАВА 10
403
даче 7.25 для нахождения геодезических:
L = — (і -™^u2-2uf + r2ft2 + rasinaV- (3)
Уравнение Эйлера — Лагранжа
I(^)-I-O (4)
дает нам уравнение геодезической
« — (М/г2) й2 + rft2 + г sin2 Фф2 = 0, (5)
откуда мы выписываем не равные нулю символы Кристоффеля: Г"ии = — 7? > Г»м = г, r»w = rsin2 ft.
Подобным же образом уравнение (4), в котором г заменено на и, в и ф, дает нам оставшиеся символы Кристоффеля:
TV M /, 2М\ M' г. /. 2М\
^ = 72(1-—J" T' ^0 = -/-(1 ).
Г'фф = -(і-^TSin2O, Yrur = ^, Г% = 1 Fw = -Sin ft cos ft, Г% = |, Г% = ctg
Их значения совпадают с соответствующими значениями для метрики Шварцшильда, за исключением Yrttu. Из формулы для тензора Риччи [см. [1], т. 1, уравнение (8.516)]
Rab = rva?. v - (In I g I1/.), a?+ (In I g I'/.), v TYafj _ ПрвІ%
видно, что все компоненты Rap имеют те же значения, что и в шварцшильдовской метрике (т. е. нулевые), за исключением
Rua =-2М'/г2. Скалярная кривизна Риччи равна
R^guuRuu = O,
поэтому единственная ненулевая компонента тензора Эйнштейна есть
Guu--2М'/г2,
откуда следует, что
Tuu = -M1IAnr2
и что все остальные компоненты T равны нулю. Поскольку вектор k = Vu [т. е. ka = (1, 0, 0, 0)] является изотропным, тензор энергии-импульса
T = -^kOk 404
РЕШЕНИЯ
соответствует чистому полю излучения. Таким образом, физическая интерпретация этого решения (называемого метрикой Вайдья) состоит в следующем: перед нами внешняя метрика сферической звезды, масса которой убывает, поскольку энергия уносится излучением.
Решение 16.12. Уравнения внутреннего строения звезды имеют вид [см. [1], т. 2, уравнение (23.5) или [2], раздел 11.1]
ds2 = — e2*>dt2 + (l - ^ydr2 + r2dQ\ (1)
г
m = $ 4лг2р dr, (2)
о
dp _ (р + р) (m + Апг3р)
dr г (г—2т)
dd> т + 4лг3р
(3)
dr г (г —2т)'
Поскольку величина р постоянна, р = р0, уравнение (2) дает
т = 4лг3р0/3 (5)
и
М = 4яЯ3р0/3, (6)
где R- радиус, a M — полная масса звезды. Подставив уравнение (5) в уравнение (3), получаем
dp_________г dr
1 - (8л/3) /"V
4л (ро+р) ро+р)
Проинтегрируем и решим относительно р:
_р_ _ (1 -2Mr*/R3)''' — (l-2M/R)''' Po
З (1 — 2M/R),/' — (\ — 2Mrt/R3)'/* ' ^
Постоянная интегрирования определяется из требования, чтобы P = O при г = R. Величину Ф проще всего найти из уравнения
dO d<D/dr 1
dp dp/dr ро+р
Интегрируя, получаем
є® = const/(p0+р) =|(1- 2MIRY'' - (1 - 2Mr*/R*y\ (8)
где постоянная интегрирования выбирается с помощью уравнения (7) таким образом, чтобы
e%_* = (l-2AW\ ГЛАВА 10
405
т. е. чтобы метрика гладко сшивалась с метрикой Шварцшильда вне звезды.
Таким образом, мы находим однопараметрическое семейство моделей звездной структуры, которое удобно параметризуется, если в качестве параметра выбрать давление в центре звезды:
(9)
Pe _ 1 — (1 — 2M/R),/l р^ З (1 — 2M/R)1'*—!
Давление в центре становится бесконечным, когда
3(1-^-1==0,
т. е. предельное значение R/2M равно Несильное энергетическое условие требует выполнения неравенства Рс<Ро, т. е. правая часть уравнения (9) должна быть меньше 1. Отсюда получаем ограничение R/2M >4/з-
Решение 16.13. Для релятивистского полностью вырожденного ферми-газа уравнение состояния имеет вид р = (1/3) р, поэтому уравнения внутреннего строения (см. задачу 16.12) записываются следующим образом:
dp/dr = -*^?? (1)
dm/dr = 4лг2р. (2)
Подставляя предполагаемое решение т (/-) = 3/-/14 в уравнение (2), получаем
р (г) = (3/14) (4 л г2) ь
подставляя затем эти значения р и т в уравнение (1), убеждаемся, что они действительно являются решением системы. Из уравнения состояния находим
р (г) = (1/14)/(4яг2)-1.
Чтобы определить п(г), воспользуемся формулами для релятивистского ферми-газа (см. задачу 5.24):
PF
n==l{i)4np2dp=mp*F'
о
PF
= (4)
о
Исключая рр (импульс Ферми) из уравнений (3) и (4), получаем
, ' 8я /4ЛУ\'/.
n^ = W(&tJ • 406
РЕШЕНИЯ
Подставляя теперь р (г), окончательно находим п(г)
Г»/, '
к = 8я /4АЗ _ _1_у/4 — ЗЛ3 \ 8я ' 14 ' 4я/
(5)
Полное число частиц внутри сферы радиуса г дается интегралом
г
N (г) = Jn (г) d (собственный объем) =
= Jn (г) еЛ4лг2 dr = ^rV2;
(6)
он остается конечным для всех г. Обратите внимание, что при вычислении интеграла (6) мы использовали соотношение
4.
3-геометрия гиперповерхности / = Const имеет метрику
<3>ds2 = g„ dr2 + г2 dQ2 = (7/4) dr2 + г2 dQ2.
Очевидно, что в начале координат эта метрика обладает особенностью конического типа (фиг. 30), так как радиусу 2-сферы, равному г, соответствует радиус С/ц)'/2г, превышающий г.
Особенность конического типа
Фиг. 30.
Уравнение погружения для радиального сечения имеет вид Wdst = (7U) dr2 = dr* + dz2, г = ±(3/4 У'г.
