Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
361
Решение 14.11. Так как жидкость движется вдоль геодезических,
аа = мР«а;Р = 0,
а поскольку в течении отсутствуют первая и вторая вязкости (см. задачу 5.18), то
aa? = fl = 0.
Применяя разложение Vu из задачи 5.18 к нашему случаю, получаем
Но о) антисимметрично, так что W(a;?) = 0, и, следовательно, и удовлетворяет уравнению Киллинга.
Решение 14.12. На геометрическом языке процесс установления наблюдателем своей локальной системы координат ха описывается следующим образом. Если и есть 4-скорость центра ящика, направленная вдоль его мировой линии, то наблюдатель выбирает вдоль своей мировой линии вектор е0, такой, что
e0 = U И C06-ер = Tla3.
Далее, из каждой точки P (т) (т — собственное время) своей мировой линии он проводит пространственные геодезические, ортогональные и, аффинный параметр для которых есть собственная длина s. Если п — касательный вектор к пространственной геодезической, проходящей через точку P вблизи мировой линии наблюдателя, то он приписывает точке P координаты X0 = т,
Xk = Stlk.
Уравнение движения пробной частицы имеет вид
где мы можем считать, что аффинный параметр Я совпадает с собственным временем частицы. 4-скорость частицы есть dx?/dX =
_
= (7, yv), где 7 = (l — u2) 2. Заменим теперь в уравнении (1) d/di на d/dt, используя соотношение d/dK = yd/dt:
4v+Jdt dt+l ^ 4t dt W
Подставляя a = 0, будем иметь
1 dy r„ dxP dxY _ n dt "t"1 ^'dt 362
РЕШЕНИЯ
Подставляя теперь это соотношение в уравнение (2), для а = / получаем
= ,3)
С точностью до первого порядка по v уравнение (3) можно записать в виде
- OT000 + r>0ft + 2IV = 0. (4)
Таким образом, с точностью до первого порядка по х и v имеем
jTT = и/Г°«о U=O- Г'оо I 7=.«-^oo.ft 1г=„- 2^*01 7=о- (5)
Значение символов Кристоффеля при х =0 можно найти, воспользовавшись результатом задачи 7.17:
r?aoe? = Vuea = —
T?ao = — Цісх = - +
Поскольку Ma = ( 1, б), ua = (— 1, О), aa = (0. «)> Wa = (О, и), получаем
Tpao = O. если ? = а,
Т0/0 =— Ty00 = — а,, (6)
Tfty0 = — T7ft0 = Z/korn®"1 = е/7гт(от.
Значения коэффициентов Кристоффеля с «чисто пространственными» индексами находятся из условия, что координатные линии Xa = = (т, srik), где т и nk не зависят от s, суть геодезические. В результате имеем
n d4a I Fa dx^ dxy n _I_ Pot Г, ink
0==-Sr+rPv-dr-dT=0 + Tiktfn".
Это соотношение справедливо при х = 0 для произвольных п, откуда следует
Tayfc = O. (7)
Найдем производную T100tk из выражения для тензора Римана: ^0W = Па. у - Tapv, б + TawTV - T\iTMpY.
Получаем
I700l ft = R'm+T'oft, о - Г^оо + TVTtjoft.
При х = 0
TVo = -8ZteMml0. IVvOO-O,
IW1O* = TZnoT0nft + TfomTmok = = CLjCtk +EmJnanekml(ul, ГЛАВА 10
363
откуда
^f- = — Oy — xk(R'oko - ZikmUm, о + Cijak + гтіп(оп&кт1(о) + 2ejkmam vk = = — а/(l +a ¦ x) - R'{)koxk +(їхш,„У — [(* X w) X(o]' + 2(u Xa)'.
Первый член в этом выражении соответствует «силе инерции», обусловленной ускорением системы отсчета; коэффициент 1 + а ~х учитывает релятивистскую поправку (см. [1], упражнение 37.4). Второй член представляет собой «истинную» гравитационную силу. В приближении слабого поля мы могли бы в духе ньютоновской физики выделить по отдельности вклад от локального ускорения силы тяжести, <5Фjdxj, и некое «абсолютное» ускорение аабс, именно
aj + R1OkoXk = (а,)абс + ЗФIdxl 7=„ + сШ/дх'дх* 1^ft ^
4 ^/<JU 1 1 *=*частицы
Члены, в которые входит (о, те же, что и в нерелятивистской механике; второй и третий члены суть центробежная сила и сила Кориолиса соответственно.
Решение 14.13. Приравнивая дивергенцию тензора энергии-импульса нулю, имеем
о = AnTZ, = Ф Wvtf'v + Ф, цФ' v; v - Y б; (2Фа; v®' ") = = (Ф, V - Ф. V, д) Ф- V + Ф, цф. V. v.
Поскольку вторые ковариантные производные скаляра коммутируют между собой (действительно, Ф[, n;v] = Ф[, ц, V] ~НФ, оГ°[|іу1 = 0), в нашем уравнении остается только второй член и уравнение движения в итоге имеет вид
? ФэФ.% = 0.
Решение 14.14. В предлагаемом уравнении (2) член 7в^Ф не зависит от размеров лаборатории точно так же, как и член с р. Следовательно, если мы измеряем поле Ф, то в принципе мы можем измерить и скалярную кривизну Риччи; в этом смысле конформно-инвариантное уравнение (2) находится в противоречии с духом сильного принципа эквивалентности.
Чтобы найти аномальные силы взаимодействия между частицами, обусловленные /^-членом, перейдем к локально лоренцевской системе, в которой одна из частиц неподвижна. Поле Ф, источником которого является эта неподвижная частица с зарядом ^1, удовлетворяет уравнению 364
РЕШЕНИЯ
Когда мы выписываем это уравнение, то подразумеваем существование некоторой глобальной (или по крайней мере порядка размеров лаборатории) инерциальной системы координат; иначе говоря, мы пренебрегаем тем самым всеми проявлениями кривизны, кроме скалярной кривизны Риччи. Другими словами, мы предполагаем (так оно, впрочем, и есть на самом деле), что эти другие проявления кривизны не нарушают сильный принцип эквивалентности.
