Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку 4-импульс частицы есть p^ = d)^/dk и так как ^v и Ail являются функциями от х", а не от я„, уравнение (1) дает
Р» = (Ъ-eAv). (3)
Из уравнения (2) получаем
-?- = - Y8^. a (? - eA?) (Jiv - eAv)+g»veA?, а (nv - еАу).
Из уравнения (3), однако, следует
= Яч* Ж + fa- ^pil + еАа- Pр*
(здесь мы воспользовались соотношением d/dk = p$d/dxР). Умножая на находим
if + fa- ^pii + T SavSi1* (Aliia-Aatll) pv.
Перегруппируем теперь производные от go? таким образом, чтобы в результате сконструировать символ Кристоффеля. Поскольку
О = (rt?v). а = Stif5. a?pv + rt?v. а. то, умножая на gwt получаем
Следовательно,
-?- + Sav (fiW. ? - ~ gfr. аур» = ^eFavjP.
Так как
gan. ?PV = у (goц. ? + Sa?. и) P3Pli. окончательно имеем
что и является уравнением движения.
Решение 14.20. Для незаряженной пробной частицы сохраняющейся величиной является р-|, поэтому можно было бы предположить, что в случае заряженной частицы будет сохра- 368
РЕШЕНИЯ
няться л-|, где я —канонический импульс, равный р + еА (см. задачу 14.19). В справедливости такого предположения, с одной стороны, можно убедиться, например, заметив, что поскольку у нас задан вектор Киллинга то соответственно должна существовать некая циклическая координата. Другими словами, мы можем выбрать координаты таким образом, что гамильтониан H не будет зависеть от какой-то одной координаты, и тогда сопряженный ей канонический импульс будет сохраняющейся величиной.
С другой стороны, мы можем непосредственно проверить наше предположение, обратившись к уравнению движения
ApP = CF-P,
из которого следует
Vp (Я-S) = (VpP)- | + p-Vp| + e(VpA).| + eA-Vpl = = е\-F-P + 0 + е (VpA).1-ер -VaI.
Чтобы переписать в другом виде последний член в первой строчке и показать, что второй член обращается в нуль, мы воспользовались уравнением Киллинга. Заметим теперь, что порядок векторных «сомножителей» в скалярных произведениях в первой строчке несуществен, но когда в дело вступает тензор F, обладающий уже двумя «входными каналами» для «ввода» векторов, необходимо обращать внимание на то, в каком порядке должны стоять векторы1). Далее, тот факт, что электромагнитное поле допускает наличие циклической координаты, выражается соотношением
О = ^sA = V^A-VaS.
Переписывая еще раз последний член в выражении для Vp (я -|) с помощью этого соотношения, получаем
Vp(я- l) = e\-F-р +el- (VA) -р-ер -(VA)-I = = • F • р — е| • F • р = О,
где мы воспользовались тем фактом, что F есть не что иное, как антисимметризованное выражение для VA. Таким образом, интегралом движения, т е. сохраняющейся величиной вдоль траектории частицы, является я-|.
Решение 14.21. Ясно, что четыре уравнения Максвелла
^ [a?, V] = 0 = F[a?, V)
инвариантны по отношению к конформному преобразованию.
I) О «входных каналах» подробнее см, [1J, г, 1, стр, 110, — Прим, перев. ГЛАВА 10
369
Другие четыре уравнения Максвелла имеют вид V = I g I" ''» [Zltlv I g ГЧ V = 4я Jv.
Поскольку
^v = v?fa? = f^g^ = fipw.
g-Sa Det (ga?) = /4g,
очевидно, что
IsF^v=IgZ1^v,
откуда следует
Fllv; V = -^7 [| g- IviFliv]. V = Anjv = AngVaJa:
Iglj
= 4п (Zgva)/Ja = Anf2Jv
и окончательно ГЛАВА 12
Решение 15.1. Когда частица движется в экваториальной плоскости, квадрат момента количества движения L2 = Pij,. Очевидно, что это сохраняющаяся величина, так как сохраняется рф. (Действительно, | = д/д<р есть вектор Киллинга, и из задачи 10.10 следует, что |-р сохраняется.) Однако в силу сферической симметрии движение всегда происходит в экваториальной плоскости некоторой координатной системы, получающейся из исходной путем поворота. Тогда, если бы мы смогли записать р% как величину, инвариантную по отношению к поворотам, а затем определить этот инвариант в исходной системе, наша цель была бы достигнута.
В некоторый момент времени, когда радиальная координата частицы равна г, компоненты ковариантной 4-скорости р суть (Pt, рг, Pf), рф). Рассмотрим теперь «приведенную» 4-скорость /?прив = (0, 0, гр$, грф), которая получается из ра путем преобразования, не зависящего от ¦& и ф (например, путем проектирования). Тогда, если движение будет происходить в экваториальной плоскости, мы будем иметь Pfl = O и ¦б' = я/2, откуда
L2 = g^??npHB^npHB _ ?ФЧУ2Рф = Рф — интеграл движения.
Но в общем случае
L»= + g* VpJ = ft +
Следовательно, эта величина должна сохраняться и в общем случае, что и требовалось доказать.
Решение 15.2.
а) Воспользовавшись сферической симметрией метрики, ориентируем координатные оси таким образом, чтобы частица при т = 0 имела ¦б' = я/2 и # = 0. Тогда единственным решением уравнения геодезической
А (г24) = г2 sin fl cos #фа является Ф = я/2 для всех т, ГЛАВА 13
841
б) Воепольвовавшись интегралом движения La из задачи 15.1, получим
(?)'-tfw-^-A).
Предположим, что невозмущенная орбита обладает параметрами Ф = я/2, L = Pv = K- Пусть частица испытывает возмущение, выводящее ее из плоскости орбиты, т. е. •& = я/2-|-6Ф, L = К + 6L, Рф = К+брф. С точностью до первого порядка по бL и брф и до второго порядка по 69 уравнение (1) дает
