Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = — E (г, t)dt2 + F(r, t) dr2 + + 2G (г, t)dr dt + г2 (dft2 + sin2 ft dtp2).
Избавимся от G, вводя новую временную координату: dt'= H {г, t)[E(r, і) dt-G (г, Odr],
где H — интегрирующий множитель, выбранный таким образом, чтобы правая сторона была полным дифференциалом. Метрика тогда принимает стандартный вид (штрихи вновь опущены):
ds» =—є2фє.о dt2 + '> dr2 + г2(dft2 + sin» ft d<p2). ГЛАВА 10
397
Из задачи 9.20 вытекает, что тензор Эйнштейна обладает следующими нетривиальными компонентами:
Gn = 2е-*Хг/г + (1 - е~2К)/г2, (1)
Gt; = 2e-w+K\t/r, (2)
G- = - 1 )/r2 + 2е~2*Ф, ,/г, (3)
0U = 0W = ^ * (Фгг + Ф.г2-Ф.г\г + Ф.г/Г-\Г/Г)-
-е-2ф(ки + \,*-Ф,<Х(). (4)
Чтобы выполнялись уравнения поля в пустоте Gr^ = 0, как видно из соотношения (2), величина К не должна зависеть от t. Тогда соотношение (1) принимает вид
2dX _ rfr \—еЫ ~ г '
Отсюда находим
Постоянная интегрирования выбрана равной 2M из соображений удобства. Теперь соотношения (3) и (4) представляют собой эквивалентные уравнения, определяющие Ф (эти уравнения должны быть эквивалентны в силу тождества G^. ^ = 0). Простейшим образом можно найти Ф, если сложить друг с другом уравнения (1) и (3). Это даст нам
откуда
в2® = /^)«-*.
Вводя новую временную координату посредством соотношения
dt' = fl/>(t) dt,
мы избавляемся от f, и метрика окончательно приобретает вид
ds2 = — (1 - dt2 + (1 - dr2 + г2 (dft2 + Sin2O dy2).
Это и есть (статическая) шварцшильдовская метрика.
Примечание. Используемая здесь координата г задается соотношением 4пг2 = площадь поверхности сферы, где соответствующие сферы определяются сферической симметрией задачи. Если бы функция г не была монотонной, мы не смогли бы использовать ее в качестве координаты. Тем не менее более подробное рассмотрение этого случая (см. [1], т. 3, стр. 42) показывает, что решения, отличные от шварцшильдовского, отсутствуют. 398
РЕШЕНИЯ
Решение 16.4. Из теоремы Биркгофа (см. задачу 16.3) мы знаем, что для сферически-симметричной системы метрика в пустоте представляет собой решение Шварцшильда. Следовательно, внутри самогравитирующей полой сферы пространство описывается метрикой Шварцшильда, но в данном случае точка г = 0 не является сингулярной. Это значит, что масса M (которая фактически является постоянной интегрирования в решении уравнений Эйнштейна) должна быть положена равной нулю, чтобы избежать расходящихся членов в метрике, содержащих М/г. Следовательно, внутри полой сферы метрика является плоской, и поэтому пробные частицы не испытывают воздействия гравитационных сил.
Решение 16.5. Запишем вакуумные уравнения поля для метрики ^v и скалярного поля Ф в теории Бранса— Дикке:
Яоф - у fo?tf = р (ф.аФ. ? - j ?аРФ.уФ' V ) +
-j-Ф-1 (Ф,а; ? ?<x? ОФ)> (1)
? Ф = 0. (2)
Если мы используем стандартный вид статической сферически-симметричной метрики
ds2 = — e2U dt2 + е2* dr2 + г2 dQ2, то уравнение [^]Ф = 0 запишется как
(в"-»г«Ф,Д,«0. (3)
Общее решение этого уравнения есть
OO
Ф^а^^-dr + b. (4)
г
Вблизи л = O метрические функции е2и и е2К стремятся к единице (вблизи /- = O метрика близка к метрике Минковского). Следовательно, интеграл в уравнении (4) расходится вблизи г = 0, и Ф вблизи начала координат можно записать так:
Фъа/г + Ь. (5)
Но если а не равно нулю, то правая часть уравнения (1) будет порядка а2/г2. (Этот эффект не обусловлен выбором координат; след правой части порядка а2/г2, поэтому из уравнения (1) вытекает, что скалярная кривизна расходится как а2/г2.) Следовательно, чтобы решение было регулярным в начале координат, необходимо, чтобы а равнялось нулю, т. е. Ф должно быть постоянным. Для случая постоянного Ф уравнение (1) сводится к статическим сферически-симметричным уравнениям поля общей теории ГЛАВА 10
399
относительности в пустоте, а из теоремы Биркгофа известно, что единственным решением этих уравнений, удовлетворяющим условию «хорошего» поведения в г = 0, является
Sixv - 1Hixv
Решение 16.6. Рассмотрим компоненты T^iv в любой точке B некотором ортонормированном репере [е-, Є;, Є?, е-]. Из условия сферической симметрии следует, что значения компонент инвариантны по отношению к поворотам:
cosae^ + sinote*, ел -sinae^ +cos ае*.
Очевидно, что компоненты Tn, Tn и Tn остаются инвариантными при поворотах. Пара компонент (TT-) преобразуется при поворотах как 2-мерный вектор и, следовательно, не является инвариантной. Поэтому мы приходим к выводу, что T^ = T?* = О и аналогично T^ = Т— = 0. Единственной 2-мерной матрицей, инвариантной по отношению к поворотам, является матрица, кратная единичной, откуда следует
гЬЬ /1 о\
, = T , Тлл OO1 Л 1
'ф yW/ и 1
Таким образом, всего имеется четыре независимых компоненты:
Тл, Тал 7лл И Tii = T-1W 1 tr> 1 г г п 1 m J w
Решение 16.7. Стандартный вид метрики для статической сферически-симметричной звезды есть
ds2 = — e2(^dt2 + e2^dr2 + r2dQ2. (1)
Легче всего расписать уравнение Ta?;p = 0 в компонентах, если вспомнить, что оно эквивалентно первому началу термодинамики:
