Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
РЕШЕНИЯ
что и требовалось доказать. Аналогично имеем
5sS 7ЛГ<ф> ^3S11 = (8л)-1 $ (16л)-1 $ Rpw Cl3Iix.
Поскольку гі32ф = 0, второй член обращается в нуль и
S = - (8л)-15 gw v. v -O = - (16л)"1 § gw V CliHllv = = — (16л)"1 ф 2g* 'г2 sin ft dft гіф.
Но
g<- g',,+VarI-=о+г V=g"TtVr+g'% фг ^
^ glq.r + ^ gqiy.r = ЗУ Sin2 ft/Г2,
и, следовательно,
5 = (16л)15 67 sin3 ft dft гіф = У.
Решение 16.24. В координатах кривизны
gvw = 6v, и d3^ = ^lg I'/* rir rift гіф, поэтому рассматриваемый интеграл равен / = - $ (27Л - К Т) gv(„ d^ = - $ (27', - Г)еф+V2 sin ft dft d<p dr. Ho в данном случае
T1t = (р + р) и% +рЬ{{ = — р, T = — (р + р) + 4р = Зр — р.
Так как в подынтегральном выражении нет функций, зависящих от ft и ф, интегрирование по углам дает 4л, и, следовательно,
R
/ = $ (р + Зр)еф+Члг2гі/\ (1)
о
Воспользуемся методом интегрирования по частям. Поскольку
г
m(r)=\4zir2pdr, (2)
о
имеем
R R
J реФ+Члг2гіг = теф+*|?-$ т(еф+*)' dr, (3)
о о
где штрих означает производную по г. Производную р' можно найти из уравнений внутреннего строения звезды, поэтому заци- ГЛАВА 10
415
шем интеграл
R R
5 Зреф+ЧлгЧг = реф+Нлг3\^ — 5 4лг3 (реф+1)'dr. (4) о о
Первый член в правой части уравнения (3) есть т (R) = M, так как т = О при г = 0, а Ф = — % при г = R. Первый член в правой части уравнения (4) равен нулю, так как р = 0 при г = R. Следовательно, I = M при условии, что сумма остающихся членов в уравнениях (3) и (4) обращается в нуль. Эта сумма равна
R R
$ m(e® + *)' dr + jj 4лг3(реф+*У dr = о о
л
= 5 dr еф+^{т( Ф' + X') + 4лг3[р' -J- р(Ф' + Г)]}. (5)
о
Вспомним теперь, что
е^ = (1-2 т/г)'1,
откуда
., _ (4лг3р — т) К ~ г {г-2т) '
Если этот результат и соотношения
_ т + 4лг3р г (г — 2т) '
, __ — (р + р) (т +Апг3р) р г (г —2т)
подставить в выражение в фигурных скобках в равенстве (5), то все члены взаимно уничтожатся и интеграл обратится в нуль, что и требовалось.
Решение 16.25. Пусть ft, ф и радиальная координата R сопутствуют некоторому сферическому слою вещества звезды. Тогда можно записать метрику в виде
ds2 = gtt dt2+gtR dR dt+gRR dR2+gn dt dx1 + gRt dR dx1 + glj dx' dxJ,
где і, / = ft, ф. Если метрика сферически-симметрична, то для dt = dR = 0 мы должны иметь
ds2 = gij dx' dxJ = r2 (R, t) (dft2 + sin2 ft dy2).
Далее, gti и gRt определяют некоторые векторы в 2-мерном (ft, ф)-пространстве, И поэтому В силу изотропии сферических оболочек gti и gRi должны обращаться в нуль. Наконец, чтобы избавиться от члена gtr, мы можем ввести новую временную координату T = = T(t, г), не нарушая при этом «условия сопутствования» радиаль- 416
РЕШЕНИЯ
ной координаты. Тогда получим
ds* = gTTdT* + gRRdR* + r*(R, T)dQ*.
Таким образом, мы, вообще говоря, можем добиться одновременно, чтобы координаты были сопутствующими, а метрика — диагональной.
Рассмотрим теперь движение элемента жидкости. Из выражения для 4-скорости жидкости
" = (—grr)~v' ег получаем выражение для ускорения жидкости:
= + = - уея^Лгг.*-
Отсюда следует, что ускорение жидкости равно нулю (а значит, и градиент давления равен нулю) в том и только в том случае, когда grr есть функция только от Т. Но если это так, то мы можем ввести новую временную координату т (T) с помощью соотношения
dx/dT = (—grr)Vl.
Но это соотношение означает, что т — собственное время для жидкости! Таким образом, одновременное наличие всех трех принятых свойств возможно тогда и только тогда, когда градиент давления равен нулю; но поскольку давление должно обращаться в нуль на поверхности звезды, равенство нулю градиента давления эквивалентно равенству нулю давления всюду внутри звезды.
Решение 16.26.
а) Первое начало термодинамики (см. задачу 5.19) в сопутствующей системе записывается в виде
P _ А
р + р п'
где и —плотность числа барионов. Число барионов в сферическом слое толщиной dR есть (4яnr2eA)dR, так что закон сохранения числа барионов в этом слое имеет вид
d(nr2e*)/dt- О,
откуда следует
Рассматривая теперь это уравнение совместно с соотношениями
(Sk = 0 = j е-®-* (Ґ - /Ф' - г'к) ГЛАВА 10
417
(см. задачу 9.20) и
ГР/?;Р = 0 = р' + (р + р)Ф',
получаем
Теперь можно подставить найденное соотношение в выражение для т:
R
т = 4л $ (2/7V'p + гЧ'р + г2ґ р) dR = о
R R
= — 4л $ (2гг'?р + гЧ'р + гЧр') dR = — 4л J (гЧр)' dR. о о
Поскольку гЧр = 0 при R = 0, имеем
m = — 4яг2р?.
б) Из равенства
G?? = —8яр
(см. задачу 9.20) получаем
8лрг2 = 1 - г'V2A+/>2е-2ф + 2г/е~2фЛ 4- 2гНл (г'Л' - г*). Воспользуемся теперь равенством
чтобы исключить А, а также тем фактом, что 8лг2рґ dR представляет собой полный дифференциал по отношению к R:
8 л рг»г' ==/•'- (л')3 <г2л + rV'r® + 2г?е~2ф (Г - AD') +
+ 2гг'е-2л (/-'Л' - л") = [г - ^2a' (гT+г (Г)2 е~2фу.
Интегрируя, находим искомое соотношение
2m = г (1 - е-2Л (r')2 + г2е-2ф) ==г(1 — Г2 + U2).
Решение 16.27. Из решения задачи 16.26 имеем
