Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
VH3J P ' иизл
vOO р • uOO '
Но для Uii3ji не равны нулю только t- и ф-компоненты, так что P • "изл = PtUt + PtfUf = PtUt (1 + Qt), ГЛАВА 10
411
где Q = ич/и' — угловая скорость вращения звезды, a t =з рф/р,— прицельный параметр фотона по отношению к оси вращения. Заметим, что рф и pt сохраняются вдоль траектории фотона. Кроме того, pt = р U00, поскольку и( = \, и, следовательно,
z = «'(l + Q/) — 1 =--j--1.
І^ + ^Ф+Й^ФФі'Узл
Так как gtf + 2Qg<({>-fQ2gw на поверхности жестко вращающейся звезды есть постоянная (см. задачу 16.19), вариация значений г вдоль поверхности звезды дается формулой
. йД/
Az = -
поверх
Однако все фотоны, достигающие наблюдателя, расположенного в направлении оси вращения звезды, должны обладать компонентой импульса Рф = 0, а это значит, что / = O и, следовательно, Д/ = 0. Таким образом, для такого наблюдателя уширение Az = O.
Решение 16.21. Конфигурация идеальной жидкости называется конвективно-устойчивой, если ее масса (т. е. масса покоя плюс энергия) не изменяется при перераспределении барионов. Мы вычислим сначала изменение массы 8М такой конфигурации, обусловленное привнесением из бесконечности 6Л барионов.
Пусть некий удаленный астрофизик бросает в нашу конфигурацию кусок вещества, обладающий полной массой-энергией рв8A H- W0, где рв — среднее значение массы покоя барионов и W0 — дополнительная энергия, которая должна быть затрачена, чтобы барионы попали внутрь жидкости. Неподвижный наблюдатель с радиальной координатой г ловит эти барионы и дополнительную энергию и измеряет их полную массу-энергию, которая оказывается равной
W = UPp0 = CrOivUfiA+W0), (1)
где е~ф — фактор красного смещения, обусловленный метрикой
ds2 = — е2ф dt2+ (I- 2m/r)-1 dr2 + г2 dQ2. (2)
Используя энергию W, локальный наблюдатель должен нагреть и сжать барионы до состояния, соответствующего локальным термодинамическим условиям, а затем высвободить для них пространство внутри звезды (другими словами, попросту «втиснуть» их туда). Имеем
^д(лок.усл) = (р/«)6Л, (За)
W в^?обожд = pbv = (р/п) б А, (36) 412
РЕШЕНИЯ
где п — плотность числа барионов. (Заметим по предположению, что звезда уже обладает экстремальным значением полной массы-энергии; поэтому изменением ее энергии, обусловленным тем, что вещество звезды смещается, освобождая место для б Л барионов, и внутри нее устанавливается новая структура, можно пренебречь.) Остающаяся после этих процессов избыточная энергия равна
^избыт (r)—W — (W&A + №высвобожд) =
= e-ф (pfl6 Л + W0) - *В±?> б А. (4)
Затем локальный наблюдатель превращает долю (1 — еф) от энергии Wизбыт в кинетическую энергию, так что он может «швырнуть остатки» наблюдателю на бесконечности, и тому достанется энергия
ИРизбыт (OO) = W избыт (Г) еф = цлб A + W о - е® б Л. (5)
Следовательно, по измерениям наблюдателя на бесконечности масса звезды возрастает на величину 6М, равную
бМ^^бЛ^^бЛ; (6)
здесь последнее соотношение следует из первого начала термодинамики.
Условие конвективной устойчивости эквивалентно требованию независимости бM от г:
еф (р + р)/п = const. (7)
Можно легко показать, обратившись к уравнению Эйлера
Ї — <Р+Р>?. (8)
что условие (7) эквивалентно требованию адиабатичности изменений термодинамических переменных вдоль радиуса. Беря производную по г от уравнения (7), получаем
(р+p)dn , dp dp , .dQ n --- Tr + dr +di + W+P'd?- (9)
Используя уравнение (8), можно переписать уравнение (9) в виде
dp _ (р + р) dn _ Idp ^ dn ^
dr п dr \дп Js dr'
Из этого уравнения ясно, что критерием конвективной устойчивости является изэнтропичность процессов в жидкости.
Решение 16.22. Будем исходить из уравнения Эйлера для жестко вращающейся звезды:
/ і \ і др д In и ...
(Р+Р) w = -W. (1) ГЛАВА 10
413
Сравним его с условием постоянства энергии инжекции
= COnst. (2)
Возьмем логарифмическую производную от обеих частей уравнения (2) и подставим ее в уравнение (1). Получим
(3)
Уравнение (3) представляет собой запись первого начала термодинамики для изэнтропйческих систем.
Решение 16.23. Поскольку вне звезды Т\ обращается в нуль, мы можем брать объемный интеграл по всему пространству в некоторый момент времени t. Из уравнений поля следует
8л
поэтому интегральное выражение для массы есть
Irn*-1 (2 Т\ - 8%Т) Iv Cl3Hll = - (4л)-15 ^vlv Cl3Iil =
= (4л)-151* v. v GPS11 = (8л)-1 $ V ^Sliv.
[Третье равенство следует из решения 10.6; последнее равенство вытекает из теоремы Стокса, см. задачу 8.10(b).] Если выбрать координаты t, г, ft, ф, переходящие на бесконечности в сферические координаты, то будем иметь
«PS,« = & «W? dft d(f = r2 sin ft dft dy,
и, следовательно,
gw v = 25': 'f2 sin fl dft dtp. Асимптотический вид метрики есть
ds2=-(ї-2^) dt2-4Jf ^dtdy+
+ (1 + it) (dr2 + ri + r2 Sin2 * dV2)-
Поскольку единственной ненулевой компонентой является = 1, имеем
f г+ FUa = 0 + r'tr - і gu, r = M/r2.
Тогда для интеграла / получаем
/ = (8л) 1J ^r ^2Sin ft dft dy = М, 414
