Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтман А. -> "Сборник задач по теории относительности " -> 119

Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.

Лайтман А., Пресс В. Прайс Р., Тюкольски Сборник задач по теории относительности — М.: Мир, 1979. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoteoriiotnositelnosti1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 152 >> Следующая

dr,Idx = V, (1)

dm/dx = — Anr2pU, (2)

(3)

Как видно из первых двух уравнений, dr/dx и dm/dt имеют противоположные знаки; тогда для того, чтобы оболочка прошла от 2m/r < 1 до 2m/r> 1, во время прохождения через г = 2т должны

14 Заказ 110 418

РЕШЕНИЯ

выполняться неравенства

/«•gO, mSsO. Поэтому в уравнении (3) мы выбираем знак минув:

І—№-')]*•

Итак, радиус будет продолжать уменьшаться, пока

но если радиус уменьшается, масса должна увеличиваться, Что

в свою очередь будет приводить к возрастанию члена ^ — 1 j, и

в результате коллапс не сможет прекратиться.

Предположим теперь, что оболочка сколлапсировала настолько, что 2т/г — 1 = е > 0. Поскольку эта величина продолжает возрастать, приходим к неравенству

dr/dr^e'h,

т. е. оболочка достигнет г = 0 за собственное время с 2т/е*&. [Решением этой задачи мы обязаны Дж. Бардину.]

Решение 16.28. Из задачи 16.25 нам известно, что в случае коллапса в отсутствие давления мы можем выбрать Ф==0. Из равенств GrtK = O (см. задачу 9.20) и Ф = 0 получаем

0 = 2/f+ 1 - г'V2A + f* =х 2гГ +1 - Г2 + Ut,

откуда следует (см. задачу 16,26)

- _ М_

<№*** г*'

Решение 16.29. Из динамического уравнения для массы (см. Задачу 16.26)

т = — 4я ргЧ = 0

непосредственно следует, что масса не зависит от времени; это физически вполне очевидно. Дифференцируя обе части уравнения для Г" из задачи 16.26, получаем

2Г Ґ = 2UU+ij-1 = 2t (г + ,

откуда (см. результат задачи 16.28) видно, что Г также не зависит от времени.

Теперь динамическое уравнение для r(R, т) представляет собой простое дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить в параметрическом виде. ГЛАВА 10

419

Случай а. Г2 - 1 <0.

г-T^-(H-Cosi1), (Ia)

т = ^Ц-(л + 8Іпт]) + F(b), (16)

(l-P)2

где ^(^ — произвольная функция.

Случай б. Г2 - 1 =0.

г = {|(/п (б))'/. [О (6)- т]}'\ (2)

где G (Ь) — произвольная функция.

Случай в. Г2 - 1 >0.

' = S(c1itI-I), <3а>

т = _тф{5ІЇЦ_Ц) + Н {b)f (3б)

(га—i)2

где H (Ь) — произвольная функция.

Заметим, что у нас имеются три свободные функции, т. е. функции, вид которых мы можем задать, исходя из конкретной физической ситуации. Именно, выбирая т(Ь), мы можем выбрать тем самым конкретное распределение масв в некоторый начальный момент времени и во все последующие моменты.

Выбор «постоянных интегрирования» F (b), G(b), H(b) соответствует выбору значения г для каждого элемента жидкости на начальной гиперповерхности, т. е. заданию r(b, /) = 0.

И, наконец, выбор Г2 (Ь) соответствует выбору скорости элемента жидкости на начальной гиперповерхности.

Сравнивая наше уравнение с уравнением для радиальной геодезической, мы видим, что Г'—1 можно рассматривать как сохраняющуюся «энергию на бесконечности» жидкой оболочки. Неудивительно поэтому, что решение соответствует трем режимам: в задаче о разлете жидкой оболочки мы можем придать ей скорость меньше параболической, т. е. «второй космической» (случай а), в точности равную параболической (случай б), или превосходящую параболическую (случай в). Заметим, что вышеприведенные решения симметричны относительно обращения времени, поэтому, например, решение в случае в может описывать падение сферических оболочек на центр (это замечание справедливо также для задач 16.25, 16.26 и 16.30). Обратите внимание на тот факт, что если три свободные функции выбраны неаккуратно, то массивные оболочки могут налететь друг на друга!

14* 420

РЕШЕНИЯ

Решение 16.30.

1. Тензор энергии-импульса имеет вид

Tad = рм«ыр.

Предположения о сферической симметрии и равномерном распределении плотности эквивалентны предположению об однородности и изотропии, так что метрика должна представлять собой решение Фридмана

ds2 = — du2 + а2 (т) [d%2 + S2 (х) {dft2 + sin2 ft dy2)], (1)

где

Isin X, если k = 1, X, если k = 0, shx, если k =—1.

Поверхности звезды соответствует некоторое постоянное значение «радиальной» координаты X = Xo- Из вида линейного элемента (1) следует, что собственный радиус звезды, определяемый по длине периметра, есть = й (т) 2 (X0). Уравнения поля Эйнштейна (см. задачи 19.16 и 19.18) в отсутствие давления принимают вид

Ia-A2 _ А , 8яр

[—) - - Tfl + "Г"' (2)

Pfl3 = Const. (3)

Уравнение (2) можно переписать в виде

•¦-даг+-^]- W

Следовательно, если Rt^ = O прн любом конечном значении R, то k должно быть равно -f 1, т. е. р — положительная величина. Наоборот, если k = —1, то RtX никогда не обращается в нуль Случай k = 0 соответствует #>t-»-0 при R-+со.

2. Из уравнения Эйлера в отсутствие давления следует, что VuU = O, т. е. каждый элемент жидкости движется вдоль геодезической. В силу сферической симметрии задачи все геодезические являются радиальными.

3. Мы выполним сшивание для k=+ 1; для случаев A = O и k = —1 сшивание проводится аналогично. Для k=+ 1 уравнения (2) и (3) дают

Сa,r)2 = am/a-l, (5)

где значение постоянной в уравнении (3) было фиксировано тем, что мы положили а равным его максимальному значению: а = = ат = а„акс. когда а т = 0. Уравнение (5) можно проинтегрировать непосредственно в том виде, в котором оно записано; удобно, ГЛАВА 10
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed