Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтман А. -> "Сборник задач по теории относительности " -> 111

Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.

Лайтман А., Пресс В. Прайс Р., Тюкольски Сборник задач по теории относительности — М.: Мир, 1979. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoteoriiotnositelnosti1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 152 >> Следующая


1 S= е? 4- Є;, лзег er, mse§4

Легко видеть, что тензор Римана можно представить как сумму t3* 388

РЕШЕНИЯ

произведении этих векторов:

R = TP? ь ("А') (пЛ1)+(тДт*) (тДт*)+ + Re [(пДга) (1Д га*) + (I Дт*) (п Д т)]}.

Очевидно, что компоненты вектора m инвариантны по отношению к бусту в направлении г с параметром скорости if. Из соотношений

е^ = ch if ej, — sh гр е-, и е; = ch гр e-, — sh г|э еj,

следует:

| = е? + е;=^(ер+еЛ),

откуда

(t V Ц V

Тогда из вида тензора R ясно, что все компоненты инвариантны.

Чтобы убедиться, что такой вывод несправедлив по отношению к бустам в других направлениях, заметим, что для буста в ф-направлении с параметром скорости гр будем иметь

= ~(М/Г3) Sh ф Ch 1)5 ф

Решение 15.15. В координатах Крускала шварцшильдовская метрика записывается в виде

dsi = ^LrTZMf (—dv2+du2) + r2dQ2, (la)

где

{їм — 1)еГ/2М = "а — yZ- (16)

Полагая в выражении (la) v = const и O = я/2 и записывая затем линейный элемент в виде некоторой евклидовой поверхности вращения, будем иметь

i^e-'^du' + r'dq)» = ! 1 + (dz/dr)2]dr2 + r2dy2, (2)

или



Вычисляя du/dr из уравнения (16), получаем

ег№

\4г/ 2М (rl1M-\)efi2M+V? ^ ГЛАВА 10

389

Чтобы погружение было возможным, г должна быть действительной функцией, т. е. должно выполняться неравенство

,11 Me"™ (4)

(r/2M-\) Si2m+ V* Отсюда следует условие

r/2M Ss In Vs.

Таким образом, для |u|>1 должно существовать минимальное значение г, выделяющие область, внутри которой погружение не удается.

С геометрической точки зрения необходимым условием погружения является выполнение неравенства

_!(периметр)-^ 2п 1 (5)

d (собственный радиус)

Рассмотрим теперь общее условие, налагаемое на dv/du, допускающее евклидово погружение. Пусть мы имеем некоторое сечение, описываемое функцией v(u). Тогда

32MV^1 _(dv_\2

% —

2

(r/m*)er/2M . [u~vl?) .

dr2 + r2dy2, (6)

и погружение допустимо, если

Р)

для любого г.

Решение 15.16. Чтобы избежать гипнотического воздействия привычных координатных обозначений, переобозначим г и следующим образом: г ->- z, t w. Тогда рассматриваемая метрика примет вид

ds2 = — dw2 + ±\~§\hdz2 + [(9/2)M(г-ш)2Р dQ2 (1)

Введем теперь новую координату г, определив ее соотношением

r = [\M(z-w)2]'-. (2)

[Мы пришли к этой мысли, потому что выражение (1) явно сферически-симметрично, и, следовательно, коэффициент при dQ2 обладает геометрическим смыслом радиуса кривизны.] Введя f 390

РЕШЕНИЯ

таким образом, получим

dw = dz — '* dr. (36)

Подставляя равенства (2) и (3) в выражение (1), будем иметь

ds2 e _ (1 _ ^Lj dz2 + 2 (JgrY dzdr-^m dr2 + г2 dQ2. (4)

Теперь нам хотелось бы попытаться диагонаЛизовать члены с dz2, dzdr и dr2. Введем для этого координату t и функцию F (г) согласно определению

z = t + F(r) (5)

и подставим в выражение (4):

ds2 = — — (dt2 + 2F' dt dr + F'2 dr2) +

j

+ 2{m)2 dr (dt+Fdr^ -JMdr2+dQi- (6) Выберем теперь F таким образом, чтобы метрика была диагональна,

При таком выборе F' линейный элемент (6) принимает вид

+ KwK1 -^"r'-^dr' + r'au',

или

ds2 = —(l + ( 1 dr2 + r2dQ2. (8)

Перед нами метрика Шварцшильда в координатах кривизны, которая соответствует, разумеется, статистическому пространству-времени. Исходные координаты (1) называются «координатами Леме-тра». В них временная координата w измеряет собственное время наблюдателей, свободно падающих на центр; каждый такой наблюдатель движется вдоль линии 2 = const.

Решение 15.17. В метрике задачи 15.16 для наблюдателя, покоящегося в данной системе координат, справедливо соотношение г = const (см. решение 15 16). Согласно определению (5) из ГЛАВА 10

391

решения 1&.16, это означает, что

,D

где мы использовали также условие (7) из решения 15.16. Из уравнения (1) получаем

{dr/dtf = {2M/r)(\ (2)

Сравнивая уравнение (2) с уравнением (2) из решения 15.3 (где для частицы, падающей из состояния покоя на бесконечности, «0=1), видим, что наше уравнение (2) соответствует радиально падающей частице, обладающей на бесконечности значением энергии, равным массе покоя.

Решение 15.18. Релятивистское уравнение Бернулли (см. задачу 14.7)

/ п \! пт \-1

-- РТ? IiCTC-I ">

можно записать через собственную радиальную скорость жидкости

о = (1 -2М/г) dr/dt с помощью соотношения между U0 и dr/dt:

В результате получим

L 2М W P-I-P \2

іі+рЛ • (2) [—)

Если теперь воспользоваться законом сохранения массы покоя

(ИаЛ Ig Iv'), а -О, то можно найти (предварительно вновь выразив и7" через v)

,(1-2 Mrfn* =consts|-. (3)

(I-,*)2

Обратите внимание, что в этом решении мы обозначаем через п плотность массы покоя, а не плотность числа частиц, как обычно:

^здесь ТПрПобычн-

Теперь было бы желательно выразить п через скорость звука а 392

РЕШЕНИЯ

с помощью уравнения р = КпY (ср. решение 5.25): Отсюда следует:

. dp у KnV-I

и * dp * l+YW'Vfr-l) '

V м-* =_?_= *<Р + Р) (4)

ГА» 1 — aa/(Y — 1) " 1

и, далее,
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed