Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
1 S= е? 4- Є;, лзег er, mse§4
Легко видеть, что тензор Римана можно представить как сумму t3*388
РЕШЕНИЯ
произведении этих векторов:
R = TP? ь ("А') (пЛ1)+(тДт*) (тДт*)+ + Re [(пДга) (1Д га*) + (I Дт*) (п Д т)]}.
Очевидно, что компоненты вектора m инвариантны по отношению к бусту в направлении г с параметром скорости if. Из соотношений
е^ = ch if ej, — sh гр е-, и е; = ch гр e-, — sh г|э еj,
следует:
| = е? + е;=^(ер+еЛ),
откуда
(t V Ц V
Тогда из вида тензора R ясно, что все компоненты инвариантны.
Чтобы убедиться, что такой вывод несправедлив по отношению к бустам в других направлениях, заметим, что для буста в ф-направлении с параметром скорости гр будем иметь
= ~(М/Г3) Sh ф Ch 1)5 ф
Решение 15.15. В координатах Крускала шварцшильдовская метрика записывается в виде
dsi = ^LrTZMf (—dv2+du2) + r2dQ2, (la)
где
{їм — 1)еГ/2М = "а — yZ- (16)
Полагая в выражении (la) v = const и O = я/2 и записывая затем линейный элемент в виде некоторой евклидовой поверхности вращения, будем иметь
i^e-'^du' + r'dq)» = ! 1 + (dz/dr)2]dr2 + r2dy2, (2)
или
Вычисляя du/dr из уравнения (16), получаем
ег№
\4г/ 2М (rl1M-\)efi2M+V? ^ГЛАВА 10
389
Чтобы погружение было возможным, г должна быть действительной функцией, т. е. должно выполняться неравенство
,11 Me"™ (4)
(r/2M-\) Si2m+ V* Отсюда следует условие
r/2M Ss In Vs.
Таким образом, для |u|>1 должно существовать минимальное значение г, выделяющие область, внутри которой погружение не удается.
С геометрической точки зрения необходимым условием погружения является выполнение неравенства
_!(периметр)-^ 2п 1 (5)
d (собственный радиус)
Рассмотрим теперь общее условие, налагаемое на dv/du, допускающее евклидово погружение. Пусть мы имеем некоторое сечение, описываемое функцией v(u). Тогда
32MV^1 _(dv_\2
% —
2
(r/m*)er/2M . [u~vl?) .
dr2 + r2dy2, (6)
и погружение допустимо, если
Р)
для любого г.
Решение 15.16. Чтобы избежать гипнотического воздействия привычных координатных обозначений, переобозначим г и следующим образом: г ->- z, t w. Тогда рассматриваемая метрика примет вид
ds2 = — dw2 + ±\~§\hdz2 + [(9/2)M(г-ш)2Р dQ2 (1)
Введем теперь новую координату г, определив ее соотношением
r = [\M(z-w)2]'-. (2)
[Мы пришли к этой мысли, потому что выражение (1) явно сферически-симметрично, и, следовательно, коэффициент при dQ2 обладает геометрическим смыслом радиуса кривизны.] Введя f390
РЕШЕНИЯ
таким образом, получим
dw = dz — '* dr. (36)
Подставляя равенства (2) и (3) в выражение (1), будем иметь
ds2 e _ (1 _ ^Lj dz2 + 2 (JgrY dzdr-^m dr2 + г2 dQ2. (4)
Теперь нам хотелось бы попытаться диагонаЛизовать члены с dz2, dzdr и dr2. Введем для этого координату t и функцию F (г) согласно определению
z = t + F(r) (5)
и подставим в выражение (4):
ds2 = — — (dt2 + 2F' dt dr + F'2 dr2) +
j
+ 2{m)2 dr (dt+Fdr^ -JMdr2+dQi- (6) Выберем теперь F таким образом, чтобы метрика была диагональна,
При таком выборе F' линейный элемент (6) принимает вид
+ KwK1 -^"r'-^dr' + r'au',
или
ds2 = —(l + ( 1 dr2 + r2dQ2. (8)
Перед нами метрика Шварцшильда в координатах кривизны, которая соответствует, разумеется, статистическому пространству-времени. Исходные координаты (1) называются «координатами Леме-тра». В них временная координата w измеряет собственное время наблюдателей, свободно падающих на центр; каждый такой наблюдатель движется вдоль линии 2 = const.
Решение 15.17. В метрике задачи 15.16 для наблюдателя, покоящегося в данной системе координат, справедливо соотношение г = const (см. решение 15 16). Согласно определению (5) изГЛАВА 10
391
решения 1&.16, это означает, что
,D
где мы использовали также условие (7) из решения 15.16. Из уравнения (1) получаем
{dr/dtf = {2M/r)(\ (2)
Сравнивая уравнение (2) с уравнением (2) из решения 15.3 (где для частицы, падающей из состояния покоя на бесконечности, «0=1), видим, что наше уравнение (2) соответствует радиально падающей частице, обладающей на бесконечности значением энергии, равным массе покоя.
Решение 15.18. Релятивистское уравнение Бернулли (см. задачу 14.7)
/ п \! пт \-1
-- РТ? IiCTC-I ">
можно записать через собственную радиальную скорость жидкости
о = (1 -2М/г) dr/dt с помощью соотношения между U0 и dr/dt:
В результате получим
L 2М W P-I-P \2
іі+рЛ • (2) [—)
Если теперь воспользоваться законом сохранения массы покоя
(ИаЛ Ig Iv'), а -О, то можно найти (предварительно вновь выразив и7" через v)
,(1-2 Mrfn* =consts|-. (3)
(I-,*)2
Обратите внимание, что в этом решении мы обозначаем через п плотность массы покоя, а не плотность числа частиц, как обычно:
^здесь ТПрПобычн-
Теперь было бы желательно выразить п через скорость звука а392
РЕШЕНИЯ
с помощью уравнения р = КпY (ср. решение 5.25): Отсюда следует:
. dp у KnV-I
и * dp * l+YW'Vfr-l) '
V м-* =_?_= *<Р + Р) (4)
ГА» 1 — aa/(Y — 1) " 1
и, далее,