Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
(du/dy)2 + (и- U0Y - в2«§ = 6 M0 (и - M0)2 + 2 (и- и0)а.
[См. также [1], т. 2, уравнение (25.47) и [2], уравнение (8.4.29).] Члены в правой части представляют собой релятивистские поправки; в ньютоновской теории гравитации правая часть была бы равна нулю.
Нулевым приближением к решению является ньютоновское решение, т. е.
M *= M0(1 +8 COS ф),
где в —эксцентриситет. Заметим теперь, что первый поправочный член имеет вид
Qu0 (и - U0)2 = 0 (U30E2) = 0 є2), 376
РЕШЕНИЯ
а второй поправочный член есть
(U-U0)3 е>
\ rO
так что мы можем им просто пренебречь! Следовательно, поправки первого порядка можно найти из уравнения
(du/ dtp)2 + (1- 6«о) (и - U0)2 = ufc2. Сделаем теперь замену переменных
\р = (1 -6м0)'/.ф, H = U-U0,
тогда уравнение примет вид
(du/dy)2 +у.2 = Us0E2Z(I-QU0).
Заметим, что решение периодично по это значит, что и г периодично по \р = (1 — б«,,)'^. Следовательно, одна полная орбита соответствует ij) = 2я или ф = 2я (1 — 6/И/г0)~1/,1 поэтому смещение периастрия дается формулой
бф ^ зм
2л за одно обращение f0
[Другой способ вычисления смещения, более ПОДХОДЯЩИЙ ДЛЯ случая больших эксцентриситетов, см. в книге Эддингтона [Eddington Л. S., The Mathematical Theory of Relativity (Cambridge University Press, 1922, Sec. 40)1).
б) Из классических ньютоновских уравнений орбиты получаем
du у „ , 2Ф {и) 2Ex ¦ +U2-
,dq>/ ' " ' L2 Li
После подстановки потенциала
ф = ~ M/r-AMZra это уравнение принимает вид
du\* 2 ти IAmui 2 En
¦ +и2-
^ф/ ^ Li L? L2
Перепишем его следующим образом:
Ш' + (1 - с) (« - "о)2 - тг (и - "o)3 = const.
Сравнивая коэффициенты при и2, приходим к выводу, что с = = QAu0W-ZL2. Для почти круговых орбит L2^mr, поэтому с = = QA/rl. Из рассмотрения случая «а» нам известно, что решение
1J Имеется перевод: Эддингтон А. С. Математическая теория относительности, Харьков —Киев: ГНТИ Украины, 1933, гл. 3, § 40. —Прим.П9рев. ГЛАВА 10
377
периодично ПО переменной (1 +с)'/'ф, так что полное угловое отклонение от периастрия к периастрию составляет
2я 2л
Дф:
1
2 /. 6 AM
Отсюда
бф "2я
= 3А_
за одно обращение ^o
Периастрий совершает опережающее движение в случае сплюснутости звезды А > 0 и отстает, если звезда вытянута А <. 0.
в) В системе единиц, где C = G=I, Mg= 1,5 км. Для Меркурия г0 = 0,58-IO8 км. Так как период орбитального обращения Меркурия составляет 0,241 года, релятивистское смещение перигелия равно
6ф = 0,105 дуговой секунды за одно обращение = = 42 дуговым секундам за столетие.
Если бы это смещение было обусловлено сплюснутостью Солнца, мы имели бы для других планет смещение
бф = (42 сек/столетие) (лМерк/л)2 (Горбиты Шрк/Торб)=.
7_
= (42 сек/столетие) (гШрк/г)2.
Числовые значения смещений тогда составляли бы
rMepn/'' Общая теория Сплюснутость,
относитёльности, сек/столетие сек/столетие
Меркурий 1 42 42
Венера 0,536 8,8 4,7
Земля 0,386 3,0 1,51
Марс 0,245 1,25 0,3
Решение 15.8. Мы будем решать задачу в два этапа. Вначале вычислим частоту лазерного излучения, измеренную наблюдателем, покоящимся при значении радиальной координаты г(«НПР»), а затем вычислим красное смещение между этим наблюдателем и наблюдателем, покоящимся на бесконечности («НПБ»).
Пусть Up — 4-скорость ракеты «Р» и рр — импульс фотона при значении радиальной координаты г. Тогда
vHnp "нпр'Pp
(1)
vo uP 'Рр
Если V — собственная относительная скорость ракеты и НПР-наблюдателя, то в системе отсчета ракеты уравнение (1) можно 378
РЕШЕНИЯ
переписать в виде
vHnp YVo (1+У cos а)
V0 Vu
откуда
VHnp = YvO (1+tf COS а), (2)
где Y = O — У2)~1/г. Чтобы вычислить V, вспомним, что на круговых орбитах угловая скорость
»-¦Й-
в точности равна скорости, даваемой третьим законом Кеплера в ньютоновской теории тяготения:
«"-(?)* (3)
(см. задачу 17.4). Следовательно,
0=А = rdf = г м Г /4)
dt (1-2M/r)4'dt [_r(\-m/r)\ ' v
Тогда наблюдатель на бесконечности будет измерять частоту
VHOB = ^T5l = Vhhp (1 - 2M/r)V., цнпр
или
VHnB = YV0 (1 + V cos а) (1 - 2М/г)''>, где V определяется уравнением (4). Решение 15.9.
а) Первый интеграл движения дает нам уравнение
(dr/dt)2 + V2(r)~E2, (1)
где V определено в задаче 15.11. Если теперь воспользоваться соотношением
dcp/d% =р* = L/ г2 (2)
И ввести новую переменную USES M/r, то можно получить уравнение, связывающее и и ср:
'du\2 ?а — (1 — 2ц) (1 -f- L2U2)
-J--_ , (J)
где I = L/M. Продифференцируем уравнение (3) по <р: 2и'и" = - (2Ul2 - 2 - 612Wa) u'L-2, ГЛАВА 10
379
ИЛИ
и" + и = ± + 3и2. (4)
Для больших прицельных параметров правая часть уравнения (4) мала. Положим u = u0 + ev, в этом случае правая часть уравнения (4) имеет порядок <0(е). Соответствующим образом выбирая ОСИ X и у, можно добиться, чтобы
«0 = ;4cos<p, Л = const. (5)
Подставляя U0 в уравнение (4), получаем
V'+ V = L-2 + 3 Л2 COS2 ф = L-2 + ~ А2 (1 + cos 2q>). (6) Решение уравнения (6) имеет вид
