Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
421
однако, ввести временной параметр посредством соотношения
dx = adr\. (6)
Из уравнений (5) и (6) получаем
a = yam(l +cosri), (7)
т = ^am (tj +sin г]). (8)
Постоянные интегрирования были выбраны таким образом, чтобы а = ат и т = 0 при tj = O и чтобы а = 0 и т = яат/2 при т] = я. Внутренняя 3-геометрия поверхности звезды, измеряемая изнутри ее, находится путем подстановки в выражение (1) значения х = Хо:
Wds2 = — dx2 + а2 (т) sin2 X0 dU2 = а2 (rj) (— А |2 + sin2 X0 dQ2). (9)
Внешняя метрика имеет вид
ds2 = — (1 - 2 M/г) dt2 + (1 - 2 M/г)~1 dr2 + г2 dQ2. (10)
Радиальная координата поверхности звезды есть r = R(x), a R (т) можно найти из уравнения для радиальных геодезических (см. задачу 16.4) по формулам
R = (1+ cos ri), (11)
r_dt (1-ZMlRi)1'' ~dx= 1-2 M/R •
Таким образом, 3-геометрия поверхности звезды во внешней метрике имеет вид
™ds\ = - dT2 + R2 (т) dQ2 = - (^pj (1 + cos ri) drj2 +
+ -^-(l+cosrja)dQa. (14)
Сравнивая с уравнением (9), мы видим, что эти 3-геометрии гладко сшиваются друг с другом, если мы отождествим следующие параметры:
Ri = Cim sin Хо, 2М =amsins X0- (15)
Вычислим теперь внешнюю кривизну поверхности Ki7', измеряемую изнутри звезды. Нормаль к поверхности есть
П = O^dIdx (16)
(вспомним, что П/П= 1), а векторы и = д/дх, д{д$ и д/дц лежат 422
РЕШЕНИЯ
на поверхности. Пусть теперь индексы i, j пробегают «значения» т, ft, ф. Тогда
KiJ =і —Є,- Vyn = -ЄГ Г°/Є0 = — giaTnj =
= —Ты] = —¦jigtn.j+gti.n —gnj.il = —-$84.4, (17)
поскольку
gin = a-igly, = 0.
Из вида метрики следует, что
Ktz = Кт» = Kxif = = о, (18)
KU = K^ Sin-2ft = — am(l +COST)) sin XoCOSXo- (19)
Во внешней метрике 4-скорость записывается в виде U = uftt + urer.
Нормаль к поверхности
п = п' Є/ + пгеґ удовлетворяет соотношениям
П • n = 1 = (n')2 + grr (пг)2, (20)
п • и = 0 = n'ut + nrur. (21)
Поскольку
U-U = -I = g« (щ)2 + g" (Urf (22)
grr = (grr)-1 = - (g")-1 = -gtt= 1 -2M/r,
из приведенных выше уравнений следует:
п' = ur, nr = —- ы<. (23)
Пусть, как и прежде, индексы i, / пробегают значения т, ft, ф. Тогда уравнение (17) справедливо также и для внешней метрики, так как
gm = п-е, = 0.
Уравнение (18) также справедливо во внешней метрике, поскольку
ет et = u-u = —1, а ет е# = ет-еф = еф-еф = 0. Следовательно, т = K^ Sin-2 ft ---1 (Г2), „ = - 1 (г2),, пг = гы, =
--R (1 - 2M/RtF = - і /?, (1 + cos ті) (1 - 2M/R? =
= - у am sin X0cos X0(1 +cosri),
где мы использовали уравнения (23), (13), (11) и (15). Таким образом, Kif=KiJ', и доказательство завершено. ГЛАВА 16
Решение 17.1. Параметры массы и момента количества движения для асимптотически-плоской метрики можно определить, если найти такую систему координат, в которой данная метрика принимает вид
я»—(i--^+0(/-2)), (1)
g0/--(4 RjklS*? + 0(r-*)). (2)
Тогда постоянные M и Sk в разложении как раз и будут массой и моментом количества движения источника (см. [2], гл. 9.4 и [1], гл. 19.3).
Разложение метрики Keppa в координатах Буайе — Линдкви-ста в ряд по степеням г1 дает нам главные члены разложения вида
ds2 = — (l-i^ + ...)dfa-(i^sinaft+...)d*d9 + + (1+...) [dr2 + г2 (dft2 + s ina ft dy1)].
Преобразовывая к декартовым координатам с помощью подстановки
я =s г sin ft cos ф, г/з= г sin ft sin ф, г set cos ft,
получаем
ds2 = -(l-^ + ...)dP-fiP- + ...)(zdy-ydx)dt +
+ (l+...)(d*a + d*/a+dza). (3)
Сравнивая (3) с (1) и (2), немедленно находим
M = Mt S = aMej.
Решение 17.2. Пусть до спрессовывания автомобиль характеризуется длиной L и массой т, а после —длиной IJ и «параметром бугристости» H (см. фиг. 31); масса черной дыры равна М. Предположим также, что величина внутреннего напряжения на единицу массы, которое может выдержать сталь, составляет є (~0,1 эВ на массу ядра; см. задачу 5.6). Сравнивая силы гра- 424
РЕШЕНИЯ
витационного давления с требующимися внутренними напряжениями, получаем следующие «условия спрессовывания»:
(•7rU>e условие, необходимое для того, ' чтобы спрессовывание началось, (1)
[-jjr)h> е условие, необходимое для того, * чтобы после спрессовывания бугорки
не превосходили Л. (2)
Если учесть, что при переработке на металлолом автомобили обычно спрессовывают до 1/10 их первоначального размера, то
L L'
<ii і і і > ¦* ' >
Фиг. 31.
легко видеть, что эти два неравенства становятся эквивалентными, если h/L'==1/10, что кажется вполне разумным значением. Полагая L' 100 см и е«=> 10е эрг/г, получаем р^;1018 г.
Время, необходимое для спрессовывания остова, определяется временем свободного падения на дыру
і
(L3/GMy ~ IO-6 с, так что в час можно переработать порядка IO8 остовов.
Решение 17.3. Чтобы ракетный корабль двигался вдоль времениподобной мировой линии, его 4-скорость должна удовлетворять следующему соотношению (получающемуся из шварцшильдовской метрики):
Sffl-Wffl-
Внутри горизонта все члены отрицательны, за исключением того, ГЛАВА 10
425
который содержит (dr/dr)2, откуда следует условие
