Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
192
2. Одномерные волны в жидкостях
Рис. 32. Волновой профиль, полученный в результате продолжения графика
рис. 31 на более позднее время t = (3/2) t0: физическая невозможность
такого волнового профиля связана с наличием трех различных значений А, В
и С для v при X = Хг или трех значений D, Е и F для и при X = Х2-
последующие моменты времени; при этом используются выводы из анализа
более простого случая, проведенного в этом разделе.
Указанные трудности отсутствуют только в случае поршня, у которого ^-
составляющая ускорения всегда ^ 0 (рис. 33). Здесь более поздние сигналы
слабее, чем более ранние, так что не может произойти их взаимодействие.
Интересным особым случаем является импульсное движение поршня из
жидкости, при котором поршень имеет нулевое ускорение, кроме очень
Рис. 33. Простая волна, вызванная поршнем, ускорение которого
отрицательно (направлено из примыкающей жидкости).
2.10. Ударные волны 193
Рис. 34. Центрированная простая волна, вызванная внезапным движением
поршня из примыкающей жидкости: а - линии С+; б - начальный волновой
профиль; в - волновой профиль в момент времени t, указанный также
пунктирной линией на рис. а. Штриховая линия: другой способ изображения
волнового профиля в момент времени t как функции от X = х - с0г.
краткого интервала времени, когда его скорость в отрицательном ж-
направлении увеличивается чрезвычайно быстро (рис. 34). В течение этого
короткого интервала он посылает веер сигналов с быстро уменьшающимися
скоростями по существу из одной и той же точки. Такая "центрированная
простая волна" изображена на рис. 34 для воздуха (у = 1,40); здесь же
(как и на рис. 30) приведены соответствующие пространственные волновые
профили для моментов времени 0 и г. Первоначально разрывный волновой
профиль становится значительно менее крутым в момент времени ?; сигнал,
несущий разрежение, затем
13-01100
194
2. Одномерные волны в жидкостях
бежит в неподвижной системе отсчета направо (сплошная линия), хотя в
системе, движущейся с невозмущенной скоростью звука (штриховая линия),
сдвиг на расстояние (1/2) (у + 1) ut смещает сигналы, несущие
отрицательные значения и, влево.
Резкий контраст выполаживанию крутых участков волнового профиля в волнах
разрежения (рис. 33 и 34) представляет собой предсказанное для волн
сжатия увеличение крутизны, показанное на рис. 31, которое приводит
спустя конечное время к невозможному волновому профилю (рис. 32). В
особом случае, аналогичном показанному на рис. 34, невозможная ситуация
возникает немедленно (рис. 35): внезапное движение поршня в жидкость
посылает опять по существу из одной точки веер сигналов с быстро
увеличивающимися скоростями. Они сразу же перегоняют друг друга, и сразу
же сдвиг порождает невозможный волновой профиль (рис. 35), поскольку то,
что непосредственно этому предшествует для волновых профилей общего вида,
а именно бесконечный наклон, показанный на рис. 31, порождается с самого
начала подобным импульсным движением поршня.
Теперь рассмотрим, какие особенности реальных плоских звуковых волн
предотвращают эти невозможные деформации волновых профилей в общем
случае, а затем исследуем, принимая во внимание эти особенности, реальную
волну, порожденную импульсным движением поршня в жидкость. Заметим, что
единственными особенностями, которые могут изменить наши заключения о
распространении простых волн, являются диссипативные процессы, так как
теория Римана (разд. 2.8), лежащая в основе наших заключений, точна
только для недиссипативных волновых процессов. Среди различных
диссипативных процессов, рассмотренных в разд. 1.13 и 2.7, мы должны
установить, следовательно, может ли какой-нибудь из них вызвать эффекты,
достаточно большие и быстрые, чтобы противостоять мощной тенденции к
быстрому преобразованию волнового профиля, показанному на рис. 31 и 32.
На первый взгляд это кажется маловероятным, так как было установлено, что
диссипативные процессы производят в типичных случаях только постепенные
изменения волнового профиля за счет ослабления волны, происходящие с
умеренной скоростью из-за трения на стенке (разд. 2.7) и с обычно намного
меньшей скоростью из-за диффузии звука б (разд. 1.13). Мы хотим знать,
однако, сможет ли какой-нибудь из этих процессов действовать достаточно
мощно и быстро, когда коэффициент наклона волнового профиля станет крайне
велик. В этой особой ситуации оказывается, что трение на стенке
продолжает оставаться слишком слабым, но, что довольно любопытно, диф-
2.10. Ударные волны
195
фузия вступает в свои права и становится чрезвычайно эффективной.
Причина этого в том, что коэффициент диффузии звука б, определенный в
разд. 1.13, дает добавку
бЗр Idt (193)
к продольному сжимающему напряжению рп, добавку сверх значения, которое
оно бы имело в недиссипативном движении. При нормальных скоростях
изменения плотности dp Idt это дополнительное сжимающее напряжение (193)
весьма мало и медленно по своему воздействию (разд. 1.13). Напротив, там,
