Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. пропорционально кубу интенсивности ударной волны,
хотя при больших Р оно растет более медленно.
Рис. 40 подтверждает такое поведение изменения энтропии на ударной волне
для атмосферного воздуха (у = 1,40). Здесь построены как график
зависимости от Р тонного выражения {214) для (Sb - Sa)/cv, так и график
зависимости предельного выражения (216), которое при Р -> 0 превращается
в 0,041 р3. Обе зависимости хорошо согласуются при малых р, но при Р =
0,5 точное значение (Sb - Sa)/cv достигнет только 0,0027, что составляет
примерно половину значения, которое дает предельное выражение (216).
Согласно уравнению (213), это означает, что ошибка при расчете давления
по данной плотности с использованием изоэнтропического уравнения (176)
будет всего лишь 0,27%, если интенсивность ударной волны р =
2.11. Простые волны, содержащие слабые ударные волны
209
= 0,5, однако эта ошибка становится значительно большей при больших
интенсивностях. Отсюда следует, что для течений, содержащих ударные
волны, которые являются "слабыми" (в том смысле, что их интенсивность |3
меньше 0,5), ошибки, вносимые ^предположением о постоянстве энтропии во
всем потоке, могут быть весьма малыми, даже если малые изменения
энтропии, изображенные на рис. 40, являются результатом процессов
диссипации энергии внутри ударной волны, которые существенны (разд. 2.10)
для самого ее существования.
Следовательно, плоская волна, распространяющаяся в покоящемся воздухе, до
тех пор, пока ударные волны в ней имеют интенсивность, меньшую 0,5, будет
удовлетворять с высокой степенью точности в любой непрерывной части волны
соотношениям, которые Риман вывел в предположении постоянства энтропии, а
именно соотношениям для простых волн, включая равенство (178). Мы можем
сделать независимую проверку этого заключения, так как оно означает, что
с высокой степенью точности величина с - (1/2) (у - 1) и должна иметь
одно и то же значение, равное с0, по обе стороны такой ударной волны.
Уравнения (205) и (206), с другой стороны, точно определяют относительное
изменение этой величины поперек ударной волны как
в системе координат, в которой скорость иа непосредственно перед ударной
волной равна нулю. Рис. 40 показывает, что эта величина чрезвычайно мала
(меньше чем 0,001) при [3 •< 0,5.
Это подтверждает сделанное ранее заключение, которое существенно
облегчает изучение простых волн: даже после появления разрыва в форме
слабой ударной волны все непрерывные части волны удовлетворяют тем же
законам распространения, какие были установлены в разд. 2.9. Применение
этих законов к расчету искажения волнового профиля после момента, при
котором предсказанный коэффициент наклона оказывается бесконечным, теперь
выглядит целесообразным, потому что, если даже волновой профиль в целом,
рассчитанный таким способом, принадлежит к типу, описанному (рис. 32) как
"невозможный", каждая непрерывная часть реального профиля должна быть
частью волнового профиля, рассчитанного таким способом.
Поэтому этот реальный волновой профиль в целом должен содержать разрыв в
каком-то месте того пространственного
сь-(1/2) (у -1) иъ - с"
(217)
14-01100
210
2. Одномерные волны в жидкостях
а 5 6
Рис. 41. Образование ударной волны в воздухе. Интерферограммы волнового
профиля в последовательные моменты а, б ив. Каждая темная линия по
существу представляет собой график зависимости плотности, взятой со
знаком минус (в соответствующем масштабе), от расстояния. В момент а эти
линии имеют умеренный наклон, в момент б они становятся круче, а в момент
в - разрывными.
интервала, где рассчитанная простая волна трехзначна; на рис. 32,
например, разрыв мог бы проходить от А до С, разделяя непрерывные части
волнового профиля, лежащие справа от А и слева от С. Но он мог бы
проходить и в другом месте профиля, например от D до F, разделяя его
непрерывные части, лежащие справа от D и слева от F. Экспериментальное
подтверждение того, что увеличение крутизны волнового профиля
действительно приводит в конечном итоге к образованию волнового профиля,
содержащего подобный разрыв, приведено на рис. 41.
В каждый момент распространения волны выбор между различными возможными
положениями разрыва внутри этого пространственного интервала можно
сделать на основании уравнений ударной волны, которые были выведены с
помощью законов сохранения (баланса массы, количества движения и
энергии), примененных к жидкости, пересекаемой разрывом. Естественная, но
трудоемкая процедура, которая раньше представлялась единственно
возможной,- это использовать выражение вроде
(Ръ/ра)44ръ - Ра)1*2 (Pb - Ра)-1*2 (218)
для скорости ударной волны (относительно жидкости непосредственно перед
ней) для того, чтобы определить смещение ударной волны между
последовательными моментами и, таким образом, рассчитать ее положение,
продвигаясь малыми шагами вперед по времени от момента, когда она впервые
появилась. Значительно более удобная процедура, открытая позднее,
