Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
сторону, таким образом, будет монотонно увеличивать Е1 - Е0, пока
упомянутая нехватка (площадь между кривой АВ и прямой АВ) не скомпенси-
руется.
Этот способ получения решения (199) подтверждает, что энтропия на единицу
массы S для любой ударной волны больше со стороны высокого давления, чем
со стороны низкого давления. Другими словами, разрывные волны, приводящие
2.10. Ударные волны
20*
к росту давления, подчиняются второму закону термодинамики и могут быть
названы "ударными волнами". Наоборот, разрывные волны, приводящие к
падению давления, скажем от С до-D, хотя они также удовлетворяют
уравнению Гюгонио (199),. никогда не могут появиться, потому что это
означало бы уменьшение энтропии. Однако невозможность таких волн не
вызывает удивления, так как мы знаем, что только волны сжатия (с
увеличивающимся р) проявляют стремление к увеличению крутизны и,
следовательно, к образованию ударной волны! Любые случайно возникшие
разрывы, давление на которых мгновенно падает, сглаживаются, превращаясь
в непрерывные возмущения (рис. 34).
На самом деле предположение, использованное для доказательства того, что
скорость сигнала и + с в простой волне возрастает с ростом р, не есть
необходимое следствие термодинамических законов, но, по-видимому,
является для жидкости общим правилом. Кроме того, оно в точности
эквивалентно предположению, использованному выше при анализе рис. 37, а
именно, что кривая постоянной энтропии в координатах
(р-1, р) вогнута вверх (d2p_1/dp2 > 0). Эта эквивалентность
следует из уравнений du = dp/(pc) и dp = c2dp для простой волны, из
которых может быть показано, что
d(uJrc)/dp = ~p2c3dzp~lldp'l. (200)
Это значит, что жидкости, в которых только волны сжатия могут увеличивать
свою крутизну, образуя разрывы, являются жидкостями, в которых только
разрывы, создающие сжатие, могут удовлетворять второму закону
термодинамики.
Для важного частного случая совершенного газа с постоянной удельной
теплоемкостью cv, и поэтому с постоянной величиной
у = (R -f CV),'CV, (201)
уравнение Гюгонио (199) может быть решено явно. В совершенном газе (разд.
1.2) изменение внутренней энергии Ех - К0 зависит только от изменения
температуры р/(Вр), что при постоянной теплоемкости с" = (у - 1)_1Л дает
Ег - Е0 = cv [pJ(Rpi) - p0/(Rp0)} =
= (T - I)-1 (PiPiB - ГоРо1)- (202>
С использованием интенсивности ударной волны, определяемой как
относительное увеличение давления
Р = (Pi - РоУРо.
(203)
202
2. Одномерные волны в жидкостях
уравнения (199) и (202) могут быть разрешены для отношения плотностей,
что дает
- простое соотношение между точками, подобными С и D на рис. 37. Тогда
уравнения (197) дают выражения
для скорости ударной волны U (которая, как и предполагалось, оказывается
всегда больше, чем невозмущенная скорость звука с0) и для скорости
жидкости их за ударной волной. Скорость звука сх за ударной волной
удовлетворяет соотношениям
где первое выражение интересно потому, что оно представляет собой также
отношение температур ТХ1Т0 при переходе через ударную волну, а второе
выражение может быть интерпретировано как локальное число Маха для
движения жидкости за ударной волной.
Мы видим, что ударные волны существуют для любой положительной
интенсивности |3 и что все приведенные выше соотношения являются
возрастающими функциями р. При р ->• оо отношение плотностей рх/р0 и
число Маха и1/с1 асимптотически стремятся к (у + 1)/(у - 1) и {21 [у (у -
1)]}1/2 соответственно, в то время как остальные отношения возрастают
неограниченно. Все эти отношения изображены на рис. 38 для атмосферного
воздуха с у = 1,40; эти графики являются хорошими приближенными
зависимостями для ударной волны при условии, что температуры Г0 и Т1
перед ударной волной и за ней обе лежат в области от 100 К до
приблизительно 1000К.
При этих условиях рис. 38 или соответствующий график, построенный по
закону Гюгонио (199) для других условий или других жидкостей, дает лишь
слегка упрощенное описание всего движения жидкости, вызванного импульсным
движением поршня со скоростью их в невозмущенную жидкость (ее состояние
обозначается индексом нуль). Это позволяет сразу найти интенсивность
ударной волны (3 = (рх -РоУРо через заданное значение их/с0, после чего
скорость ударной волны U и значения плотности и температуры между поршнем
и ударной волной могут быть немедленно определены. На рис. 38 показа-
Pi/Po = [2? + (? + !) р]/[2у + {у - 1) р] (204)
(205)
2.10. Ударные волна
203
Р
Рис. 38. Для ударной волны с интенсивностью (3, движущейся в
первоначально невозмущенном совершенном газе с отношением удельных
теплоемкостей 1,40, изображены в диапазоне 0 < <• Р < 15 следующие
безразмерные величины: скорость волны U и изменение некоторых функций при
переходе через ударную волну (скорость жидкости изменяется от 0 до щ,
плотность - от ро до pi, температура - от Тв до и скорость звука - от с0
до ct).
но, в частности, что внезапные движения поршня со скоростями, сравнимыми
