Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
количества движения, массы и связанные с ними термодинамические принципы,
получившие количественное выражение в случае непрерывных движений ( в
разд. 1.1 и 1.2 соответственно), могут быть также применены совершенно
по-другому для анализа возможности существования разрывных движений
жидкости. В случае, подобном изображенному на рис. 36, такой анализ
позволяет определить скорость распространения разрывной волны V (которая
может, как упоминалось раньше, превосходить с0), а также давление р± и
плотность рх в области за ней, если скорость жидкости щ в этой области
равна скорости поршня.
Таким образом, масса невозмущенной жидкости с плотностью р0, пересекаемая
со скоростью U единицей площади ударной волны за единицу времени, равна
Ро U. (194)
Закон сохранения массы требует, чтобы эта жидкость выходила с тем же
самым потоком массы за ударной волной с относительной скоростью U - иг и
плотностью р1; что дает
Pi (U - щ) = р0U. (195)
Скорость приобретения этой жидкостью количества движения, а именно поток
массы (194), умноженный на ж-составляющую скорости иг, которую она
получает, можно приравнять к суммарной силе- р0 в ^-направлении,
действующей на жидкость, пересекаемую единицей площади ударной волны, что
дает
Po^i = Pi - Ро" (196)
Представляет определенный интерес решить уравнения (195) и (196)
относительно U и щ, выразив эти величины только через давления и
плотности:
JJ4 Pi Pi-Ро ц2 (Pi Ро) (Pi• Ро) (197)
Ро Pi -Ро ' РоРх * 1
Здесь уравнение в "конечных разностях" для скорости ударной волны U
является обобщением для случая разрывов с произвольной амплитудой
дифференциального соотношения с2 = = dp!dp, к которому оно сводится для
малых возмущений, в то время как уравнение для их аналогично обобщает
уравнение и = (р -РоУ(Рос)- Действительно, законы сохранения мае-
2Л0. Ударные волны
199
сы и количества движения дают информацию того же типа, что и линейной
теории (разд. 1.1), и ничего более; поэтому для завершения анализа
необходимо рассмотрение соответствующих термодинамических принципов, как
в разд. 1.2.
Поскольку внутри ударной волны диссипативные процессы важны, мы не можем
считать, что энтропия сохраняется постоянной для жидкости, пересекаемой
волной. Энтропия, согласно второму закону термодинамики, должна
возрастать в результате превращения механической энергии в тепло. Тем не
менее можно подсчитать баланс полной энергии, включающий как внутреннюю
энергию жидкости, так и ее кинетическую энергию. Если внутренняя энергия
на единицу массы изменилась с Е0 до Ег при пересечении ударной волной, а
кинетическая энергия возросла от 0 до (1/2) и\, то при потоке массы (194)
скорость изменения энергии жидкости, пересекаемой единицей площади
ударной волны, будет
p0U(±u\ + Ei-E0)=plui. (198)
Правая часть (198) выражает тот факт, что на такую жидкость действуют со
стороны примыкающей жидкости силы рх сзади и р0 спереди (см. (196)), из
которых, однако, только жидкость за ударной волной находится в движении
(со скоростью их) и, следовательно, производит работу (с мощностью на
единицу площади РхЩ).
Подстановка в (198) выражений (197) для U и иг дает важный общий закон
Гюгонио, связывающий изменение внутренней энергии поперек ударной волны
со значениями давления и плотности впереди и позади нее:
Ех - ?0 = 4(^i + A)](Po1 - Pi1)- (199)
Это уравнение лучше интерпретировать с помощью диаграммы давление -
удельный объем (рис. 37), на которой изображены графики зависимости
давления р от удельного объема р-1 при постоянной энтропии S. Согласно
этой диаграмме, изменение внутренней энергии равно площади под прямой,
соединяющей точки (р^1, р0) и (р"1, pt), которые изображают состояния
жидкости впереди и позади ударной волны.
Заметим, что эти точки не могут, как точки А и В, лежать на одной и той
же кривой постоянной энтропии, потому что вдоль такой кривой dE = -
pdp'1, что дает Ег - Е0 в виде в
площади j pdp'1 под кривой между А и В. Эта кривая опре-
А
200
2. Одномерные волны в жидкостях
Рис. 37. На диаграмме давление - удельный объем увеличение внутренней
энергии на ударной волне равно площади под прямой, соединяющей точки,
изображающие состояния перед ударной волной и позади нее. Две точки А и В
на одной и той же кривой постоянной энтропии не могут удовлетворить этому
условию, но поворотом прямой АВ вокруг ее средней точки М получим точки С
и D, для которых оно выполнено.
деленно лежит ниже прямой АВ, что означает, что уравнение (199) не может
быть удовлетворено: сохранение энтропии поперек ударной волны невозможно.
Для того чтобы найти точки С и D, которые удовлетворяют уравнению (199),
начнем вращать отрезок АВ по часовой стрелке вокруг его средней точки М,
что не изменит правую часть (199), но будет быстро увеличивать левую
часть, так как Ег возрастет на величину изменения энергии при постоянном
объеме с возрастанием энтропии между А и С, в то время как Ео уменьшится
на величину, связанную с уменьшением энтропии между В и D. Вращение в эту
