Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пропорционально скорости поршня и. В качестве второго случая рассмотрим
длинные волны в открытых каналах с постоянным поперечным сечением,
которое может быть произвольным при условии, что ширина свободной
поверхности Ъ сохраняется постоянной для всех значений уровня свободной
поверхности z = ?, встречающихся в волне. Это делает уравнение (16)
точным, хотя уравнение (19) для скорости волны относительно жидкости
принимает вид
когда площадь поперечного сечения воды изменяется от А0 до А.
Соответственно
с - с0 + -j (у-1) и.
(178)
I
u+c-c0 = -^(y+i-)u
(179)
p/p0==[l +у(у-1) (W/C0)]2AY 15
(180)
с = (gAyPb-1!*,
(181)
является другим линейным соотношением между Рис.
2.9. Простые волны
187
и/С0
Рис. 29. Зависимость давления р и плотности р от скорости жидкости и в
направлении распространения для простой волны в совершенном газе с
отношением удельных теплоемкостей 1,40 при невозмущенных давлении,
плотности и скорости звука ро, ро и со соответственно.
Простые волны в открытых каналах с постоянным поперечным сечением и с
постоянной шириной свободной поверхности удовлетворяют поэтому
уравнениям, очень похожим на (178), (179) и (180):
с = с0+~и\ н + с-c0 = ju; А/А0= (l + -1ц/^)2. (183)
Про уравнения (183) часто говорят, что описываемые ими простые волны
ведут себя в точности как волны в совершенном газе с у = 2, хотя такой
газ вовсе не существует! Аналогия может быть действительно полезной в
ограниченном контексте, т. е. применительно к простым волнам при выводе
результатов для открытых каналов из результатов акустики с произвольным
значением у. Заметим, что избыток скорости сигнала и + с - - с0 здесь
обусловлен на две трети переносом за счет собственного движения жидкости
и на одну треть увеличившейся скоростью распространения волны.
188
2. Одномерные волны в жидкостях
"1
Рис. 30.
Искажение волнового профиля в случае совершенного газа с постоянным
отношением удельных теплоемкостей 1,40. Сплошные линии: перестройка
волнового профиля ABCDE в A'B'C'D'E' за время t, когда каждое значение и
оказывается сдвинутым вправо на расстояние c0t + (1/2) (у + 1) ut
(например, расстояние СС' равно c0f + (1/2) (у + 1) ujt, а ВВ' и DD'
равны c0t + (1/4) (у + 1) uit, тогда как АА' и ЕЕ' равны c0t). Штриховая
линия: все эти расстояния уменьшаются на с0О если волновой профиль
построен как график зависимости от X = х - c0t (здесь AB"C"D"E), что
делает искажение более наглядным.
Во всех случаях, когда имеются простые волны, наблюдается такое
возрастание избыточной скорости сигнала при росте и; это свойство все
более искажает волновой профиль по мере его продвижения. График
зависимости и от а; не может теперь в последующие моменты времени иметь
ту же самую форму, что и в предыдущие (разд. 1.1); вместо этого сигналы,
несущие большие значения скорости, смещаются вперед по отношению к
сигналам с низкой амплитудой на величину, увеличивающуюся с ростом и. Для
случаев, удовлетворяющих линейному соотношению (179), которое включает
(183) как частный случай при у = 2, волновой профиль испытывает простое
сдвиговое искажение (рис. 30); за время t каждое значение и перемещается
вправо на расстояние c0t + у (у + 1) ut (сплошная линия),
зависящее линейно от и.
Искажение волнового профиля, зависящее от времени, удобнее описывать в
системе координат, которая движется со скоростью с0 волн в невозмущенной
жидкости. В этой системе сигнал движется со скоростью
v = и + с - с0 (184)
и пространственной координатой служит
X = х - c0t. (185)
Если избыток скорости сигнала v прямо пропорционален и, как в (179), то
график зависимости и от X сдвинется за время
Л
t на величину у (у + 1) ut (штриховая линия на" рис. 30),
пропорциональную расстоянию над горизонтальной осью. В результате участки
волнового профиля, имеющие положительный нак-
2.9. Простые волны
189
Рис. 31. Графики зависимости избыточной скорости сигнала v от X = = х -
c0t показывают искажение произвольного волнового профиля. Спустя время t
(здесь взяты значения 0, tj2 и t0) каждое значение v будет находиться в
точке, смещенной на расстояние vt вправо, так что волновой профиль
подвергнется сдвигу с единичной скоростью.
лон, становятся положе, а участки с отрицательным наклоном - круче. Для
этих последних участков, которым соответствуют волны сжатия (т. е. ре со
временем увеличивается), упомянутая выше загадка приобретает следующий
вид: что же произойдет, когда отрицательный коэффициент наклона станет
бесконечным?
Искажение простых волн самого общего вида, которые не обязательно
удовлетворяют (179), оказывается равномерным сдвигом, если теперь
переопределить "волновой профиль" как график зависимости v от X. Здесь
скорость v постоянна (потому что и и с сами постоянны) вдоль линий С+,
удовлетворяющих уравнению dXldt = v. Таким образом, в любой простой
волне, рассматриваемой в этой системе координат (движущейся со скоростью
с0), переменная v удовлетворяет замечательному уравнению
