Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
dvldt -)- vdv/dX = 0 (186)
которое устанавливает, что сигналы, несущие значение v, перемещаются со
скоростью V.
На рис. 31 показано, что при этом любой волновой профиль имеет eduHUHnym
скорость cdeuea: спустя время t данное значение v находится в точке,
смещенной на расстояние vt вправо, в то время как большее значение v + 8v
оказывается на (v + + 8v) t правее своего первоначального положения, и,
следовательно, его расстояние 8Х от предыдущей точки увеличивается на
(8v) t. Это означает, что величина 8Xl8v, обратная коэффициенту наклона
волнового профиля, для данного v увеличивается с eduHU4H0ii скоростью во
времени - важный результат, к которому можно прийти другим путем,
дифференцируя (186)
190
2. Одномерные волны в жидкостях
по X и получая
(дШ + ид/дХ) Цди/дХ)-1] = 1. (187)
Отсюда довольно неожиданно следует, что любое отрицательное значение
величины, обратной коэффициенту наклона, должно за некоторое конечное
время возрасти до нуля, что будет соответствовать бесконечному
коэффициенту наклона. Это произойдет впервые для данного волнового
профиля спустя время
to = min [- (dv/dX)'1], • (188)
и остается загадкой, что может произойти после этого момента времени;
здесь, опять же, эта загадка лишь отмечается.
Искажение волнового профиля рассматривалось выше как изменение
пространственного распределения в зависимости от времени; такое описание
особенно удобно для задачи с начальными условиями, вроде задачи разд.
2.8. Для некоторых задач с граничными условиями, таких, как на рис. 28, а
и б, искажение более удобно рассматривать как изменение временного
распределения (например, заданного на открытом конце) в зависимости от
расстояния; х вдоль трубы. Это требует использования не движущейся
пространственной координаты (185), зависящей от времени, а временной
координаты, изменяющейся в зависимости от положения со скоростью, равной
величине, обратной скорости сигнала. В самом деле, теория, как и прежде,
будет иллюстрироваться посредством рис. 31, если волновой профиль
рассматривать как график зависимости от модифицированной временной
координаты
Хг = с~*х - t (189)
дефицита обратной скорости сигнала
щ = с~г - (и + с)-1 (190)
(а не избыточной скорости сигнала и). Очевидно, что величина к, является
постоянной вдоль линии С+, для которой, после замены переменной х на flt
уравнение (189) дает
dXjdt-t = с"1 - dtldx - с"1 + (и + с)-1 = иг, (191)
так что и закон искажения волнового профиля, проиллюстрированный на рис.
31, и уравнения (186) - (188) будут полностью применимы, если каждой
переменной приписать индекс 1.
В частности, уравнение (188) тогда дает расстояние вдоль тру-
2.10. Ударные волны
191
бы, при котором впервые возникает загадка о временном волновом профиле с
бесконечным коэффициентом наклона.
При возбуждении смещением (граничные условия поставлены и не для
фиксированного времени, и не для фиксированного положения, а на
движущемся поршне) задачу о том, кан искажается однажды возникший
волновой профиль, можно рассматривать с обеих точек зрения. С другой
стороны, можно применять уравнение (173), описывающее приращение массы
между двумя соседними линиями С+, из которого следует, что две такие
кривые впервые встретятся (что приводит к бесконечному коэффициенту
наклона волнового- профиля) в момент, когда (173) впервые обратится в
нуль, а именно при
t = min{d [р (т) А(%) с (т) т]/d [р (т) А (т) с (т)]}. (192)
Во всех этих задачах анализ вплоть до того момента, когда линии С +
впервые встретятся, как мы видели, довольно понятен, однако
концептуальные трудности продолжения его за этот момент представляются
весьма значительными и должны быть подробно исследованы в следующих
разделах.
2.10. Ударные волны
Более глубокое исследование, необходимое, чтобы разрешить вопрос,
отмеченный в разд. 2.9, предлагается сначала для плоских звуковых волн,
возбуждаемых простым движением поршня. Распространение анализа на более
общие способы возбуждения и более общие типы продольных волн в жидкостях
будет проведено соответственно в разд. 2.11 и 2.12.
На рис. 28, в изображено, каким образом поршень, имеющий первоначально
положительную ^-составляющую ускорения (направленную к жидкости),
порождает звуковые волны, в которых более поздние сигналы, несущие более
высокие избыточные давления, стремятся перегнать более ранние сигналы.
Соответствующее искажение пространственного волнового профиля показано на
рис. 31 вплоть до того момента времени (определяемого равенством (188)),
когда сигналы впервые окажутся в одной точке и градиент станет
бесконечным. Однако та же теория сдвигового искажения волнового профиля
предсказывает в последующие моменты невозможный волновой профиль (рис.
32), для которого существуют три разных значения избыточной скорости
сигнала для любого положения внутри определенного пространственного
интервала (см. точки А, В, С на кривой при X = Хг или точки D, Е, F при X
= Х2). В разд. 2.11 исследуется, что действительно произойдет в эти
