Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
свою интенсивность до тех пор, пока поршень продолжает двигаться со
скоростью иг, согласующейся с постоянными условиями за ударной волной.
Исследуем теперь возможность изучения значительно более общего типа
распространения волн, когда искажение простой волны (разд. 2.9)
происходит непрерывно вплоть до момента, при котором коэффициент наклона
волнового профиля стремится к бесконечности, и диффузия может стать
эффективной, способствуя формированию ударной волны, т. е. по существу
опять разрыва, но разрыва, интенсивность которого может возрастать до
максимума по мере дальнейшего сдвига волнового профиля и затем
уменьшаться, после того как поршень прекратит совершать работу над
жидкостью.
Для такого изучения необходимо иметь возможность, используя
соответствующие физические законы, рассчитать движения жидкости,
охватывающие области с постепенно меняющимися параметрами, разделенные
подвижными разрывами. К счастью, для таких движений соотношения, которые
выполняются на разрыве, остаются в сущности такими же, как и в разд.
2.10. Даже если интенсивность ударной волны и скорость могут меняться со
временем, законы, определяющие скорости изменения массы, количества
движения и энергии для жидкости, пересекаемой единицей площади ударной
волны в каждый момент времени, по-прежнему имеют вид уравнений (195),
(196) и (198), при условии, что индексы 0 и 1 в этих уравнениях заменены
индексами а и Ъ, отмечающими значения функций непосредственно перед
ударной волной и за ней, и что в качестве скоростей ударной волны U и
жидкости непосредственно за ней иъ выбраны скорости в такой системе
координат, в которой скорость жидкости иа непосредственно перед ударной
волной равна нулю; таким образом, V и иъ являются скоростями относительно
движения жидкости непосредственно перед ударной волной. Из полученных
уравнений можно опять вывести закон Гюгонио (199), который после этих
изменений станет таким:
Еъ- Еа = \{Ръ + Ра)(ра1- рЬ1). (2И)
Можно подумать, что соотношения, описывающие непрерывно меняющуюся часть
движения жидкости, должны аналогично принимать форму уравнений простых
волн, полученных в разд. 2.8 и 2.9. Однако такое утверждение не может
быть вполне справедливо для области за ударной волной, так как выводы в
этих разделах полностью основаны на предположении о том, что энтропия на
единицу массы, S, сохраняется постоянной. Это предположение пригодно для
жидкости, не испытав-
2.11. Простые волны, содержащие слабые ударные волны
207
шей никакой диссипации (например, находящейся перед ударной волной), но
из уравнения (211) следует, что вся жидкость, через которую прошла
ударная волна, претерпевает увеличение S, величина которого зависит от
интенсивности ударной волны |3 = (ръ - Ра)!Ра- Соответственно ударная
волна с переменной интенсивностью |3 должна оставлять за собой движение
жидкости с непостоянной энтропией S, где соотношения простой волны не
могут выполняться точно.
К счастью, существует обширный класс важных волновых движений с участием
ударных волн, где эти соотношения тем не менее выполняются с чрезвычайно
высокой степенью точности, а именно те из них, в которых ударная волна
остается относительно слабой. Мы отметили в конце разд. 2.10, что закон
Гюгонио дает изменение энтропии на ударной волне порядка |33, если ее
интенсивность Р мала; причина этого в сущности та, что площадь между
прямой линией АВ (рис. 37) и кривой оказывается малой величиной порядка
куба расстояния АВ при уменьшении последнего. Поэтому слабая ударная
волна может вызывать лишь пренебрежимо малые изменения энтропии.
Например, в совершенном газе с постоянной удельной теплоемкостью cv
энтропия (разд. 1.2) удовлетворяет уравнению
TdS = dE + pdp-1 = cvdT + pdp-1, где T = p/(Rp), (212)
которое с учетом (201) означает, что
S = c0ln(p/pv) + const; (213)
это находится в соответствии с уравнением (176), согласно которому
величина р/рч постоянна, если S постоянна. Изменение энтропии на ударной
волне Sb - Sa, используя (204) для отношения плотностей рь/ра> можно
поэтому записать как
(Sb - Sa)/'v = In (1 + |3) - yin {[2у + (у + 1) р]/[2у +
+ (у - 1) Р]}- (214)
Справедливость предположения о том, что изменение энтропии на ударной
волне пропорционально |33 при Р ->-0, становится очевидной из выражения
(V2_ 1) р2 (1 + |3)-1 [2у + (Y + 1) р]-1 [2у + (у - 1) р]-1 (215)
для производной по р от правой части (214), которое, очевидно, ведет себя
как (у2 - 1) р2/(4у2) при р 0, хотя при больших Р оно растет более
медленно. Отсюда выводим, что изменение самой энтропии удовлетворяет
соотношению
(Sb - Sa)/cv~ (Т2_1)рз/(1272) при Р 0, (216)
208
2. Одномерные волны в жидкостях
Рис. 40. Изменения энтропии S и величины с - (1/2) (у - 1 )и в
безразмерной форме (214) и (217) на ударной волне в совершенном газе
с у = 1,40, изображенные в логарифмических координатах как функции
интенсивности ударной волны р. Штриховые линии:
соответствующие изменения в предельном случае при |3 0.
