Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 75

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 242 >> Следующая

любой другой точки кривой С+\ Так как функция, стационарная во всех
точках кривой С+, должна быть постоянной всюду вдоль С+, получаем первый
результат Римана:
и Р = const вдоль кривой С+: dx = (и -j- с) dt. (154)
Аналогичные рассуждения, примененные к (149) и снова использующие (151),
дают второй результат Римана
и - Р = const вдоль кривой С_: dx = (и - с) dt. (155)
Очевидно, что кривая С_ является траекторией точки, которая всегда
движется назад (т. е. в отрицательном ж-направлении) с локальной
скоростью волны с в системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью с
локальной скоростью и.
Отметим, что рассуждения, приводящие к этим важным результатам в
нелинейной теории плоских звуковых волн, столь же справедливы для других
видов продольных волн произвольной амплитуды, а именно для волн в трубах
или каналах с постоянным поперечным сечением и однородными физическими
характеристиками жидкости, потому что в соответствии с уравнением (12)
эти волны определяются такими же локальными соотношениями между
выражениями для избыточного давления и скоростью жидкости, как
соотношения (146) и (147), и можно аналогично определить интеграл, в
точности подобный (150). С другой стороны, приведенные рассуждения
требуют однородности жидкости, и в частности постоянства энтропии S; в
противном случае подинтегральное выражение (150) не является просто
функцией р, а зависит также и от S, которая, вообще говоря, не постоянна
вдоль кривых С+ или Са скорее имеет свойство сохранять постоянство вдоль
траектории жидкой частицы dx = udt. Если свойства поперечного сечения
меняют-
2.8. Нелинейная теория плоских волн
177
ся в зависимости от х (и, следовательно, не могут оставаться неизменными
вдоль С+ и С_), то вышеприведенные рассуждения теряют силу.
Теперь подтвердим справедливость утверждений (154) и (155), выведя их
непосредственно из полных уравнений движения с помощью оригинального
метода Римана, распространив его на случай одномерных волн общего вида в
однородных трубах или каналах. Определим с для волн, имеющих произвольное
избыточное давление ре, в этом общем случае придав уравнению (9) вид
где равенства (2), в которых энтропия S и свойства поперечного сечения
считаются постоянными, задают р и А, а следовательно, также с как функции
только ре\ определим Р равенством
Тогда уравнение количества движения (3), деленное на р, принимает вид
(см. (4)), деленное на рА/с, запишется с помощью (156) и (157) так:
которое отличается от (154) только формой записи! Вычитая (160) из (158),
получаем
что аналогично доказывает (155). Эти доводы столь же убедительны, как и
прежде, хотя они, конечно, совершенно не объясняют, откуда появился
интеграл Р.
В качестве первого указания на полезность утверждений (154) и (155),
перед тем как в разд. 2.9 будут приведены дальнейшие примеры, рассмотрим
следующую задачу с начальными условиями: пусть в начальный момент t = 0
вся жидкость, за исключением содержащейся в некотором слое (конечном
с-2 = А~г d (рA)/dpe,
(156)
(157)
о
du!dt -f- иди/дх + сдР/дх - 0,
(158)
а уравнение неразрывности,
д (рA)/dt + ид (рА)!дх + рАди/дх = 0
(159)
dP/dt -f- udPldt -f- сди/дх = 0. Складывая (158) и (160), получаем
уравнение
д (и + Р/д) t -j- (и + с) д {и + Р)/дх = 0,
(160)
(161)
д (и - P)ldt + (и - с) д (и - Р)/дх = 0,
(162)
12-01100
178
2. Одномерные волны в жидкостях
Рис. 27. Задача с начальными данными, решаемая методом Римана.
Возмущение, первоначально ограниченное отрезком BF, расплетается при t =
t{jls на две простые волны (волну, заключенную между С? и С+, бегущую
направо, и волну, заключенную между С? и бегущую налево) с невозмущенной
областью между ними.
интервале значений х), не возмущена (т. е. для нее и, ре = - Р - Рoi а
следовательно, также и Р имеют нулевые значения), в то время как
возмущения внутри слоя могут быть большими, но, конечно, с постоянной
энтропией; тогда возникает вопрос: как будут распространяться
возмущения впереди
и позади этого слоя в последующем движении?
Чтобы решить эту задачу методом Римана, изобразим пространственно-
временную диаграмму на плоскости (х, t) (см. рис. 27). Возмущения при t =
0 заключены в слое между граничными точками В и F. Чтобы проанализировать
последующее развитие течения, представим себе некоторое число кривых С+
(для которых dx/dt = и + с), нанесенных на эту диаграмму, и выделим среди
них С(r) и С\, начинающиеся при t = 0 соответственно в точках В и F, и
аналогично кривых С_ (для которых dxldt = и - с). Форма этих кривых
заранее неизвестна, так как она зависит от того, как меняются и и с,
однако определенные полезные сведения о них можно получить следующим
образом.
Утверждение (155) означает, что вдоль каждой кривой величина и - Р имеет
постоянное значение, вообще говоря, конечно, различное для различных
кривых СОднако СТ и все кривые впереди нее начинаются из области впереди
F,
2.8• Нелинейная теория плоских волн
17"
где и = Р = 0; постоянное значение и - Р на каждой и" них поэтому может
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed