Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
с с0 или большими, тормозятся чрезвычайно большими избыточными давлениями
и вызывают очень высокие температуры воздуха.
Основное упрощение в этой картине - отсутствие какой-либо оценки толщины
ударной волны. Мы закончим этот раздел описанием того, как может быть
оценена толщина хотя бы слабой ударной волны.
Важный ключ дается законом Гюгонио (199), который определяет прямую
линию, соединяющую начальное и конечное состояния на диаграмме давление -
удельный объем (рис. 37). Дальнейшее рассмотрение показывает, что эта
линия имеет и большую важность, как график зависимости продольного
сжимающего напряжения рп от удельного объема р-1 поперек ударной волны.
Чтобы увидеть это, мы рассмотрим плоскость, движущуюся внутри ударной
волны, на которой плотность все время имеет некоторое частное значение р;
пусть продольное напряжение на этой плоскости будет рп, а скорость
жидкости и. Тогда законы сохранения массы и количества движения для
жидкости, пересекаемой со скоростью О ударной вол-
204
2. Одномерные волны в жидкостях-
ной, приводят к тем же уравнениям (195) и (196) для жидкости, проходящей
через эту плоскость, если заменить в этих уравнениях pj, рг и щ на р, р1г
и и; как и прежде, они дают первое из уравнений (197), которое в виде
Ри -Ро = pWHpo1 - р'1) (207>
является вышеупомянутым линейным соотношением между рп ир-1 внутри
ударной волны.
Значит, зависимость продольного напряжения в ударной волне от р-1
представляется прямой линией, тогда как (рис. 37) аналогичные графики
зависимости давления от р-1 в процессах с постоянной энтропией всегда
имеют обращенную вниз выпуклость. Следовательно, дополнительная часть
продольного напряжения р1Ъ являющаяся добавкой к значению, которое эта
величина имеет для процесса с постоянной энтропией, и равная, согласно
(193), bdp/dt, максимальна в середине ударной волны и падает до нуля на
ее концах. Это определяет скорость, с которой плотность должна завершить
свое изменение поперек ударной волны.
Рассмотрим подробно случай малого относительного изменения плотности
поперек ударной волны, когда соображения о малости возмущений (разд.
1.13), приводящие к (193), должны быть наиболее оправданными и когда
можно с хорошей степенью точности на рис. 37 взять в качестве прямой
(207) отрезок АВ; по существу это возможно из-за того, что изменение
энтропии на ударной волне (превращающее эту прямую в прямую CD)
пропорционально площади между отрезком АВ и кривой АВ, а эта площадь по
порядку малости при стремлении А к В пропорциональна кубу полного
изменения плотности, тогда как дополнительное напряжение (193), т. е.
превышение отрезка АВ над кривой АВ, остается значительно большим
(порядка квадрата).
Таким образом, уравнение для р, в котором оставлены только квадраты
возмущений, имеет вид
Ьдр/dt = (f/2 - с2) (р! - р) (р - р0)/(р1 - ро), , (208)
где правая часть равна расстоянию между прямой (207) и параболой,
аппроксимирующей ту кривую с постоянной энтропией, которая пересекает ее
в точках р = р0 и р = рх и для которой dp/dp = с20 при р = р0. Решение
уравнения (208) для ударной волны с центром в точке х = Ut, а именно
Р - Ро = (Pi - Ро) {1 + ехр [(С/2 - с2) (х - ?/*)/( Е76)]}-', (209)
изображено на рис. 39.
2.11. Простые волны., содержащие слабые ударные волны
205
Рис. 39. Распределение плотности (209) внутри слабой ударной волны;
обратите внимание на то, что 90% увеличения плотности происходит между
отмеченными точками, а это означает, что для данного х время возрастания
плотности (210) чрезвычайно мало.
Этот результат демонстрирует чрезвычайную быстроту изменений в ударной
волне: время возрастания плотности, определенное как время, на которое
приходится 90% увеличения плотности в центральной части ударной волны,
равно
66/([/2 - cl) (210)
(что при нормальных атмосферных условиях составляет величину порядка
10_9с, деленную на относительное возрастание плотности (р2 - РоУро)-
Обычно этот процесс является настолько быстрым, что только слагаемые бв и
бс, обусловленные вязкостью и теплопроводностью, могут сделать свои
полные вклады в б (разд. 1.13). Более важно то, что возрастание плотности
завершается за такое короткое время и на таких коротких расстояниях
(скорость волны, умноженная на время возрастания), что рассмотрение
ударной волны в сущности как разрыва, удовлетворяющего уравнениям (203) -
(206), пригодно для всех практических целей.
2.11. Теория простых волн, содержащих слабые ударные волны
Взгляд на ударную волну как на разрыв, который распространяется в
покоящийся воздух со скоростью волны U, значительно большей, чем
невозмущенная скорость звука с0, установлен в разд. 2.10 для очень
частного случая ударной волны, достигающей своей полной интенсивности
немедленно, как только импульсное движение поршня создает разрывный
волновой профиль: ударная волна тогда остается по существу разрывной
благодаря балансу между конвекцией и диффузией и сохраняет
206
2. Одномерные волны в жидкостях
