Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 76

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 242 >> Следующая

быть только нулем. Отсюда следует, что
Ре
и = Р (ре) = j (рc)~l dpe впереди от С(r). (163)
о
Для всей этой области, лежащей впереди от С_ (которая по мере роста t
расширяется и всегда содержит в себе ту "область впереди слоя",
распространением возмущения в которой мы интересовались), уже установлено
важное упрощающей соотношение (163), являющееся обобщением уравнения
(12). Рассуждая аналогичным образом, получаем, что
и = Р позади С(r), (164)
в то время как рассуждения для С+ означают, что
и = - Р позади С(r) (165)
и что
и - - Р впереди С+. (166)
Действительно, определения (154) и (155) означают, что' С+ должна лежать
впереди С* , так что во всей области (166) справедливо также равенство
(163), которое может означать только одно: и = Р = 0; очевидно, это та
область пространства-времени, которая остается невозмущенной, поскольку
волна ее достичь не может. Аналогичные замечания применимы к области
(164), заключенной внутри области (165): эта область позади С(r) является
тогда также невозмущенной и в ней и = = Р = 0.
Более удивительным является то, что спустя определенное время t - fdis
(рис. 27), когда С(r) пересечет С(r), возникает область, лежащая между этими
кривыми, где применимы оба равенства (163) и (165), из которых снова
получаем, что и = = Р = 0. В течение времени 0 < t < tAls возмущения
"расплетаются" (disentangled) и далее распространяются как две "простые
волны" (одна вперед, другая назад), разделенные невозмущенной областью.
Чтобы понять особые свойства этих "простых волн", рассмотрим простую
волну, распространяющуюся вперед в области спереди от С(r) между С (r) и С\-
Из уравнения (163), справедливого в этой области, следует, что величина и
-j- Р, которая благодаря (154) постоянна вдоль каждой С+, равна просто
2и, так что сама и постоянна вдоль каждой С+. Поэтому, благодаря (163),
ре постоянно, и поэтому с тоже постоянно. Сле-
12*
180
2. Одномерные волны в жидкостях
довательно, для любой кривой С + в этой области простой волны из
выражения (154) имеем
и + с = const вдоль С+, (167)
Поэтому эта кривая является прямой линией в плоскости (х, t), нто и
показано на рис. 27.
Вообще простые волны, которые изучаются в разд. 2.9, могут бежать либо
вперед по отношению к жидкости, и тогда они необходимо содержат такие
"кривые" С+, которые все являются прямыми линиями и на каждой из которых
скорость потока и и избыточное давление ре принимают постоянные значения,
связанные уравнением (163); либо'назад (подобно Другой простой волне на
рис. 27), и тогда они содержат прямые линии С_, вдоль которых и и ре
постоянны и связаны с помощью (165). Примечательность следствий из
исследования Римана состоит не столько в том, что существуют простые
волны, а в том, что любое конечное возмущение за конечное время tdl'g
распадется на пару простых волн, бегущих в противоположных направлениях и
разделенных невозмущенной областью. Это следствие показывает, насколько
мощен анализ с помощью кривых С+ и С_; более общую математическую
трактовку этих кривых, при которой они рассматриваются как особые случаи
характеристических кривых гиперболических систем дифференциальных
уравнений в частных производных, можно найти в учебниках по теории
дифференциальных уравнений.
2.9. Простые волны
Выражение "простая волна" достаточно удачно обозначает весьма
непосредственное обобщение понятия плоской бегущей волны (разд. 1.1),
заимствованное из линейной теории, на возмущения с произвольной
амплитудой. В разд. 2.9 исследуются механизмы генерирования простых волн,
а также анализируются законы их распространения. Весьма интересно узнать,
насколько просто рассчитать распространение этих нелинейных волн, но
возникает и более глубокая проблема. Эта загадка, намек на которую,
возможно, содержится на рис. 27 (а именно что произойдет, если две кривые
С+ пересекутся), шаг за шагом формулируется в настоящем разделе, хотя
ответы на этот важный вопрос отложены до последующих разделов.
Выберем направление распространения простой волны в качестве
положительного .r-направления. Такая волна определяется как область, где
постоянное значение (155) и - р вдоль каждой кривой С_ в каждом случае
равно нулю, как и в (163),
2.9. Простые волны
181
что дает
ре
U = Р (Ре) = j (PC)'1 dpe. (168)
О
Тогда соответствующие кривые С+ являются прямыми линиями, вдоль каждой из
которых и принимает постоянное значение, вообще говоря разное для каждой
С+; так же ведут себя на этих кривых ре, с и (уравнение (167)) величина и
+ с, равная dx/dt. Заметим, что это краткое описание столь же применимо'
и к простой волне, движущейся назад (рис. 27), так как изменение знаков у
х и у и, которое необходимо, чтобы сделать направление распространения
этой волны положительным ^-направлением, преобразует уравнение (165),
которому удовлетворяет волна, к виду (168), и заставляет величину и - -
с, равную dxldt на прямых, соответствующих этой волне и вдоль которых и и
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed