Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
где участок, соответствующий сжатию волнового профиля, становится круче,
так что локальная скорость увеличения плотности стремится к бесконечности
при приближении к определенному моменту, дополнительное сжимающее
напряжение (193) растет пропорционально локальной скорости, пока оно не
достигнет такого огромного локального значения, что вызовет остановку
всего процесса увеличения крутизны (в сущности, за счет замедления
сигналов позади этого участка и ускорения сигналов перед ним). Тогда для
очень крутой волны сжатия, называемой "ударной волной", появится
возможность продолжать распространяться со скоростью, промежуточной между
скоростями сигналов за волной и перед ней с помощью уравновешивания
процессов диссипации и увеличения крутизны; локальная крутизна волнового
профиля саморегулируется так, чтобы мощное и быстрое стремление к
увеличению крутизны компенсировалось сильными эффектами локальных
напряжений (193).
При обсуждении этих процессов (здесь - для одного типа возбуждения и в
разд. 2.11 - для более общих типов) мы не придаем особого значения
вопросу о точном значении 6. Действительно, удвоение коэффициента
диффузии вдвое уменьшает необходимую крутизну профиля в ударной волне и
поэтому удваивает ее толщину; однако ударная волна остается настолько
предельно тонкой по сравнению с другими характерными размерами, что ее
поведение с учетом удваивания или без него - это в сущности то же самое
разрывное изменение плотности. Соответственно всякие попытки улучшить
линейную аппроксимацию (193) добавочных сжимающих напряжений или учесть
действительную частотную зависимость вклада в б, связанного с
"запаздыванием" (разд. 1.13), здесь опущены.
Тот факт, что диссипация энергии с помощью механизмов разд. 1.13 может
вызвать значительные эффекты при изменениях, настолько резких, что
добавочное сжимающее напряжение (193) становится существенным, связан с
тем обстоятельством,
13*
196
2. Одномерные волны е жидкостях
6
Рис. 35. Для внезапного движения поршня в невозмущенную жидкость теория
простой волны немедленно предсказывает невозможные ситуации; а -
пересечение линий С+\ б - формирование трехзначного волнового профиля.
что эти механизмы уменьшают, с одной стороны, энергию синусоидальной
волны за один период на часть, пропорциональную <об, которая может быть
существенной, если величина (об достаточно велика. Высокие скорости
изменения уменьшают, с другой стороны, эффективность механизма диссипации
за счет трения (разд. 2.7); при этом относительная потеря энергии за
период падает как со-1/2 при увеличении со (уравнение (142)). Таким
образом, ударная волна, движение которой обусловлено конвективными
процессами, хотя и может взаимодействовать с вязким пограничным слоем, по
существу есть явление со слабым рассеиванием энергии.
Импульсное движение поршня в жидкость, на котором мы сейчас остановимся,
немедленно порождает разрывный волновой профиль (рис. 35), для которого
сигналы за ним движутся с большей скоростью, чем невозмущенная скорость
с0 сигналов перед ним, что сразу приводит при отсутствии диссипации к
нереальным следствиям. Мы рассмотрим, может ли волна почти
2.10, Ударные волны
197
__________________ ¦=------------------ ¦ > 30
б
Рис. 36. Возникновение ударной волны при внезапном движении поршня в
невозмущенную жидкость; добавочное сжимающее напряжение (193) в почти
разрывной ударной волне достаточно велико, чтобы замедлить сигналы
(распространяющиеся вдоль линий С+) позади нее и ускорить сигналы перед
ней (рис а), так что (рис. б) ударная волна может распространяться без
изменения волнового профиля, показанного здесь также в более поздний
момент времени, отмеченный на рис. а пунктирной линией.
мгновенно стабилизироваться в почти разрывной форме "ударной волны", т.
е. переходной области с чрезвычайно малой толщиной, определенной так, что
добавочное сжимающее напряжение (193) предотвращает дальнейшее увеличение
крутизны, замедляя сигналы за ней и ускоряя сигналы перед ней, так что
сама ударная волна распространяется с некоторой промежуточной скоростью в
невозмущенную жидкость (рис. 36).
Теория будет развита в двух направлениях. В первом, которое при изучении
ударных волн вполне достаточно для практических целей, рассматривают
ударную волну как действительный разрыв (но с диссипацией), где скорость
жидкости и изменяется мгновенно от нуля до постоянного значения ии
которое она принимает в области между поршнем и ударной волной; при этом
стремятся определить, используя закон сохранения массы и другие
физические законы, как могут измениться другие переменные, такие, как
давление и плотность. Во втором
198
2. Одномерные волны в жидкостях
направлении рассматривают действительную структуру ударной волны и ее
толщину и подтверждают, что первое направление создает правильное
представление о природе волны, когда она распространится на расстояния,
намного большие, чем ее толщина.
Первая трактовка интересна тем, что показывает, как законы сохранения
